Approximationstheorie

3.4 Der Remez–Algorithmus 65
muß y ∗ sogar die eindeutige Minimallösung sein, wenn aj = 0, j = 1, . . . , n.
Nun können wir, (3.32) sei Dank, also unseren zweiten Baustein für den Algorithmus zur
Berechnung der Bestapproximation angeben, nämlich die Bestimmung der diskreten Bestapproximation,
was letztlich auch Punkt 1) erledigt. Um alles etwas knapper formulieren zu können
bezeichnen wir mit Φ(A) die (erweiterete) n + 1 × n–Matrix des Interpolationsproblems, mit
f(A) den n + 1–Vektor der rechten Seite und mit σ = [−1, 1, −1, . . . , (−1) n+1 ] T den n + 1–
Vektor der mit wechselnden Vorzeichen.
Algorithmus 3.35 (Remez–Algorithmus, diskrete Bestapproximation)
Gegeben: f ∈ C(X), A ⊂ X, #A = n + 1.
1. Berechne
ρ =
det [f(A), Φ(A)]
det [σ, Φ(A)]
2. Berechne den Vektor a = [a0, . . . , an] T ∈ R n+1 als Lösung des linearen Gleichungssystems
[ρ σ, Φ(A)] a = f(A).
Ergebnis: Diskrete Bestapproximation auf A:
φ =
n
aj φj ∈ Φ.
Und damit können wir schließlich unseren Remez–Algorithmus zusammenbauen.
Algorithmus 3.36 (Remez–Algorithmus)
Gegeben: f ∈ C(X), n–dimensionaler Haar–Raum Φ ⊂ C(X).
j=1
1. Wähle A0 ⊂ X, #A0 = n + 1, beliebig.
2. Für j = 0, 1, 2, . . .
(a) Bestimme die diskrete Bestapproximation φ ∗ j mit
über Algorithmus 3.35.
∗
f − φj Aj
= dAj
(f, Φ)
(b) Bestimme Aj+1 aus Aj und φ ∗ j über den Austauschschritt aus Algorithmus 3.32.
3. Abbruchbedingung: Für Toleranz u ist
∗ f − φj
∗ f − φj Aj
X
≥ 1 − u.