Approximationstheorie

64 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
also
⎡
⎤
f (x0) φ1 (x0) . . . φn (x0)
⎢
det
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
f (xn) φ1 (xn) . . . φn (xn)
ρ =
⎡
⎤
1 φ1 (x0) . . . φn (x0)
, (3.30)
⎢
⎢ −1 φ1 (x1) . . . φn (x1) ⎥
⎥
det
⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
(−1) n φ1 (xn) . . . φn (xn)
und unser φ erhalten wir als Lösung des Interpolationsproblems
φ (xj) = σ (−1) j ρ + f (xj) , j = 0, . . . , n, σ ∈ {−1, 1}, (3.31)
wobei die freien Variablen die Koeffizienten von φ bezüglich einer Basis φ1, . . . , φn von Φ und
das “Vorzeichen” σ sind. Anders gesagt, ist [σ, a1, . . . , an] T die Lösung des Gleichungssystems
⎡
⎢
⎣
ρ
−ρ
.
φ1 (x0)
φ1 (x1)
.
. . .
. . .
. ..
⎤ ⎡ ⎤
φn (x0) σ
φn (x1) ⎥ ⎢
⎥ ⎢ a1
⎥
⎥ ⎢ ⎥
. ⎦ ⎣ . ⎦ =
⎡ ⎤
f (x0)
⎢ ⎥
⎣ . ⎦ ,
f (xn)
(3.32)
(−1) n ρ φ1 (xn) . . . φn (xn)
dann ist φ = a1 φ1 + · · · + an φn.
Beweis von Lemma 3.34: Zuerst bemerken wir, daß mit (3.28) und (3.29)
a T y ∗ =
n
j=1
aj ρ sgn (aj b) = ρ sgn b
=sgn aj sgn b
an
n
|aj| = |b| sgn b = b,
also ist y ∗ wirklich eine zulässige Lösung. Für jedes y ∈ R n , das a T y = b und y ∞ ≤ ρ erfüllt,
ist dann
und wegen
also
yj = γj y ∗ j = γj ρ (sgn aj) (sgn b) , γj ∈ [−1, 1], j = 1, . . . , n,
|b| = (sgn b) b = (sgn b)
= ρ
n
|aj| γj =
j=1
n
|aj| =
j=1
j=1
n
aj yj = (sgn b)
j=1
|b|
|a1| + · · · + |an|
n
ajγj ρ (sgn aj) (sgn b)
j=1
n
|aj| γj,
j=1
n
|aj| γj =⇒ γj = 1, j = 1, . . . , n,
j=1