Approximationstheorie

3.4 Der Remez–Algorithmus 63
Was also noch bleibt, ist die Bestimmung der diskreten Bestapproximation auf einer n + 1–
elementigen Menge, mit anderen Worten:
Zu f ∈ C(X) und A ⊂ X, #A = n + 1, bestimme man φA ∈ Φ, so daß
f − φA A = dA (f, Φ) = min
φ∈Φ max |(f − φ) (x)| .
x∈A
Zur Lösung verwenden wir einen Ansatz aus [60], das Resultat findet sich aber auch schon
in [75]. Dazu schreiben wir Zuerst einmal A = {x0, . . . , xn} und setzen δj := (f − φ) (xj),
j = 0, . . . , n, denn dann besteht unser Minimierungsproblem darin, φ so zu wählen, daß
maxj=0,...,n |δj| minimiert wird. Das aber ist ein Minimierungsproblem mit einer lineren Nebenbedingung,
denn da77 φ (xj) = f (xj) − δj, j = 0, . . . , n, ist
⎡
⎤ ⎡
φ (x0) φ1 (x0) . . . φn (x0)
f (x0) − δ0
⎢
0 = det ⎣
.
. . ..
⎥ ⎢
. ⎦ = det ⎣ .
φ1 (x0)
.
. . .
. ..
⎤
φn (x0)
⎥
. ⎦
=
φ (xn)
⎡
f (x0)
⎢
det ⎣ .
φ1 (xn)
φ1 (x0)
.
. . .
. . .
. ..
φn (xn)
f (xn) − δn
⎤ ⎡
φn (x0) δ0 φ1 (x0)
⎥ ⎢
. ⎦ − det ⎣ . .
φ1 (xn) . . . φn (xn)
⎤
. . . φn (x0)
. ..
⎥
. ⎦ , (3.27)
f (xn) φ1 (xn) . . . φn (xn) δn φ1 (xn) . . . φn (xn)
und eine Leibnitz–Entwicklung der Matrix ganz rechts liefert Koeffizienten cj, j = 0, . . . , n, so
daß
⎡
n
f (x0)
⎢
cj δj = det ⎣ .
φ1 (x0)
.
. . .
. ..
⎤
φn (x0)
⎥
. ⎦ .
j=0
f (xn) φ1 (xn) . . . φn (xn)
Das sieht schon viel besser aus, denn nun haben wir das folgende Resultat aus [60], das uns
etwas über die δj sagt.
Lemma 3.34 Zu gegebenen 0 = a ∈ R n und b ∈ R ist
wobei
min
a T y=b
max
j=1,...,n |yj| =
|b|
|a1| + · · · + |an|
=: ρ = max
j=1,...,n
∗
y
j , (3.28)
y ∗ j = ρ sgn (aj b) , j = 1, . . . , n. (3.29)
Dieses Lemma 78 sagt uns also, daß δj = σj ρ für j = 0, . . . , n, weil aber A für das optimale
φA eine Alternante sein muß, ist demnach ρ = f − φA A . Setzen wir das in (3.27) ein, dann
erhalten wir, daß
⎡
f (x0)
⎢
det ⎣ .
φ1 (x0)
.
. . .
. ..
⎤ ⎡
φn (x0)
σ0
⎥ ⎢
. ⎦ = ρ det ⎣ .
φ1 (x0)
.
. . .
. ..
⎤
φn (x0)
⎥
. ⎦ ,
f (xn) φ1 (xn) . . . φn (xn)
σn φ1 (xn) . . . φn (xn)
77 Tirivialerweise!
78 Daß wir es erst später beweisen werden, das wird inzwischen wohl niemanden mehr überraschen . . .