Approximationstheorie

62 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
Ergebnis: A ′ ⊂ X, #A ′ = n + 1, mit
sgn (f − φ) x ′ j
und es gibt δ > 0 und x ∈ A ′ , so daß
′
= −sgn (f − φ) x j−1 , j = 1, . . . , n,
|(f − φ) (x)| = f − φ und |(f − φ) (x ′ )| = δ ≤ f − φ , x ′ ∈ A \ {x}.
Dieser Austauschschritt ersetzt also, wenn möglich, genau einen Punkt in einer (diskreten)
Alternante und zwar so, daß an diesem Punkt ein echt größerer Wert angenommen wird. Die
Norm ist nicht unbedingt notwendig und sorgt lediglich dafür, daß die erreichte “Vergrößerung”
so groß ist wie möglich. Ein “normaler” Austauschschritt ist in Abb 3.5 dargestellt.
x0
x1
x
Abbildung 3.5: Ein Austauschschritt des Remez–Algorithmus, der benachbarte Punkt der
diskreten Alternante mit demselben Vorzeichen wird durch die Abszisse des Maximums
ersetzt.
Übung 3.12 Zeigen Sie: Ist Φ ⊂ C(X) ein n–dimensionaler Haar–Raum, dann ist Φ auch ein
Haar–Raum auf A für jedes A ⊂ X, #A ≥ n + 1, und umgekehrt. ♦
Bemerkung 3.33 Ein Problem bleibt allerdings ungelöst in Algorithmus 3.32, ganz einfach
deswegen, weil es für beliebige stetige Funktionen halt einfach nicht zu lösen ist, nämlich die
Bestimmung des Maximum. Der naive Ansatz, die Funktion f − φ einfach “fein genug” abzutasten,
scheitert daran, daß man über eine stetige Funktion kaum Aussagen machen kann, wenn
man sie nur an endlich vielen Werten kennt.
Anders sieht die Sache schon aus, wenn man beispielsweise weiß, daß die Funktion f und alle
Funktionen aus Φ “kontrolliert” stetig sind 76 .
76 Beispielsweise Lipschitz–stetig.
x2
x3
x4
x5