Approximationstheorie

3.4 Der Remez–Algorithmus 61
Dieses Lemma 75 sagt uns also, daß die Aj aus dem obigen Algorithmusentwurf die Eigenschaft
dA0 (f, Φ) < dA1 (f, Φ) < · · · ≤ d (f, Φ)
haben und daß deswegen die Folge der Abstände konvergieren muß. Da außerdem die Alternanten
Aj als Elemente von X n+1 aufgefaßt werden können, konvergiert zumindest eine Teilfolge
gegen eine “Alternante” A ∗ mit der Eigenschaft
dAj (f, Φ) < dA∗ (f, Φ) ≤ d (f, Φ) ,
und wäre dieses A ∗ nicht die Alternante zur Bestapproximation, dann könnten wir es mit einem
weiteren Schritt des Algorithmus nach Lemma 3.31 nochmals verbessern. Die Idee dieses
Verfahrens ist also durchaus schon mal sinnvoll . . .
Beweis von Lemma 3.31: Wegen (3.25) und (3.26) liefert uns Satz 3.29 sofort, daß dA (f, Φ) ≥
δ. Sei nun φ ∗ die Bestapproximation an f auf A, dann ist A eine Alternante für f und φ ∗ .
Wäre jetzt dA (f, Φ) = δ, dann hat die Funktion φ − φ ∗ mindestens n Nullstellen, nämlich
A \ {xj}, müßte also die Nullfunktion sein, was aber im Widerspruch zur Annahme steht, daß
φ ∗ Bestapproximation ist – schließlich ist ja φ keine Bestapproximation, weil A keine Alternante
für f und φ ist; der Absolutbetrag von f − φ an der Stelle xj ist einfach zu groß.
Der Übergang von einer “Alternate” zur nächsten, also unser Punkt 2) erfolgt somit nach dem
folgenden Verfahren.
Algorithmus 3.32 (Remez–Algorithmus, Austauschschritt)
Gegeben: f ∈ C(X), Alternante A ⊂ X, #A = n + 1, φ Bestapproximation auf A.
1. Bestimme x ∈ X, so daß
|f(x) − φ(x)| = f − φ .
2. Ist x ∈ A, dann ist φ Bestapproximation an f auf X.
3. Andernfalls unterscheide drei Fälle:
(a) x < x0. Setze
A ′
{x, x1, . . . , xn} , sgn (f − φ) (x) = sgn (f − φ) (x0)
=
{x, x0, x1, . . . , xn−1} , sgn (f − φ) (x) = −sgn (f − φ) (x0) .
(b) xk < x < xk+1. Setze
A ′ = A \ {xk, xk+1} ∪
{x, xk+1} , sgn (f − φ) (x) = sgn (f − φ) (xk) ,
{x, xk} , sgn (f − φ) (x) = sgn (f − φ) (xk+1) .
(c) x > xn. Setze
A ′
{x0, . . . , xn−1, x} , sgn (f − φ) (x) = sgn (f − φ) (xn)
=
{x1, x2, . . . , xn, x} , sgn (f − φ) (x) = −sgn (f − φ) (xn) .
75 Wir werden es gleich beweisen, aber zuerst sollten wir wieder mal “die Geschichte fertigerzählen”.