Approximationstheorie

60 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
2. Für j = 0, 1, 2, . . .
(a) Bestimme die diskrete Bestapproximation φ ∗ j auf Aj an f:
∗
f − φj Aj
= inf
φ∈Φ max
∗
f(x) − φj(x) .
x∈Aj
Nach Satz 3.24 73 ist dann Aj eine Alternante für f und φ ∗ j und mit Satz 3.29 folgt,
daß
f
− φ ∗
j Aj
= max f(x) − φ
x∈Aj
∗ j(x)
= min f(x) − φ
x∈Aj
∗ j(x) ≤ d (f, Φ) .
(b) Ist
∗ f − φ
j Aj
= denn
∗ f − φ
j , dann ist Aj eine Alternante zur Bestapproximation,
d (f, Φ) ≤
∗
f − φ
j = f ∗
− φj ≤ d (f, Φ)
Aj
liefert, daß φ∗ j die gesuchte Bestapproximation sein muß.
<
Aj
∗ f − φj Aj eine neue Menge Aj+1, so daß
(c) Ist f − φ ∗ j
und
, dann bestimmen wir durch Ersetzen eines Punktes in
sgn f − φ ∗ j (xj+1,k) = −sgn f − φ ∗ j (xj+1,k−1) , k = 1, . . . , n, (3.23)
min
x∈Aj+1
∗
f(x) − φj(x)
= f ∗
− φj Aj
und
Es bleiben allerdings ein paar “kleine Detailfragen” zu klären:
∗
f − φj Aj+1
1. Wie bestimmt man die diskrete Bestapproximation an n + 1 Punkten 74 ?
2. Wie bestimmen wir das neue Aj+1 konkret.
3. Warum funktioniert das Ganze eigentlich?
=
∗
f − φ
j
(3.24)
Beginnen wir mit dem letzten der drei Punkte, 3), denn diese Eigenschaft läßt sich leicht
mit dem folgenden Resultat erklären.
Lemma 3.31 Sei zu f ∈ C(X) und φ ∈ Φ eine n + 1–elementige Menge A = {x0, . . . , xn}
gegeben, so daß
und sei
sgn (f − φ) (xj) = −sgn (f − φ) (xj−1) , j = 1, . . . , n (3.25)
δ = min |f(x) − φ(x)| = max
x∈A\{xj} x∈A\{xj} |f(x) − φ(x)| < |f (xj) − φ (xj)| (3.26)
für ein δ > 0 und j ∈ {0, . . . , n}. Dann ist dA (f, Φ) > δ.
73 Mit Aj anstelle von X!
74 Scherzfrage: Was ist die diskrete Bestapproximation an n Punkten? Und was ist der Approximationsfehler?
Antwort: Interpolation!