Approximationstheorie

3.4 Der Remez–Algorithmus 59
φ ∗ ∈ Φ
d (f, Φ)
n
j=0
µj = f − φ ∗
=
n n
µj ≥
j=0 j=0
n
(f − φ) (xj) σjµj
=
j=0
≥ min
j=0,...,n |(f − φ) (xj) |
(f − φ ∗ ) (xj) σj µj
n
|(f − φ) (xj) | µj
j=0
n
µj,
woraus (3.22) unmittelbar folgt.
3.4 Der Remez–Algorithmus
Der Remez72 –Algorithmus ist ein Verfahren zur iterativen Bestimmung der Bestapproximation
φ∗ ∈ Φ für einen Haar–Raum Φ. Das heißt, eigentlich wird es ein Algorithmus zur Bestimmung
einer Alternante! Denn: Ist A∗ = {x∗ 0, . . . , x∗ n} zufällig eine Alternante für f und die
Bestapproximation φ∗ ∈ Φ, dann ist nach (3.22)
d (f, Φ) = f − φ ∗
= max ∗ ∗
(f − φ ) x
j = min ∗ ∗
(f − φ ) x
j ≤ d (f, Φ)
j=0,...,n
j=0
j=0,...,n
Da andererseits aber (3.22) auch für die Menge A ∗ gilt, ist obendrein
d (f, Φ) ≥ dA∗ (f, Φ) ≥ min
x∈A∗ |(f − φ∗ ) (x)| = max
x∈A∗ |(f − φ∗ ) (x)| = f − φ ∗ A∗ = d (f, Φ) ,
und wir erhalten die folgende Beobachtung.
Bemerkung 3.30 Die Alternante A ∗ zur Bestapproximation φ ∗ ∈ Φ an f ∈ C(X) zeichnet
sich dadurch aus, daß
dA ∗ (f, Φ) = dX (f, Φ) = d (f, Φ)
ist. Außerdem ist φ ∗ auch diskrete Bestapproximation an f auf der A ∗ .
Übung 3.11 Sei A ⊂ X eine endliche Teilmenge von X = I oder X = T. Zeigen Sie, daß
jede beschränkte Funktion auf A stetig ist. ♦
Damit wird die “Strategie” unseres Verfahrens zur Bestimmung der Bestapproximation aus
einem n–dimensionalen Haar–Raum an eine stetige Funktion f ∈ C(X) schon etwas weniger
nebulös:
1. Beginne mit einer beliebigen n + 1–elementigen Menge A0 = {x00, . . . , x0n} ⊆ X.
72 Evgeny Yakovlevich Remez, 1896–1975, weißrussisch–ukrainischer (historoisch eher “sovjetischer”) Mathematiker,
neben dem Algroithmus zur Bestimmung der Bestapproximation beschäftigte er sich auch mit Näherungslösungen
von Differentialgleichungen und Mathematikgeschichte.