Approximationstheorie

58 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
1 1
0
π
−π
Abbildung 3.4: Die beiden linearen Bestapproximationen an sin x auf X = [0, π] (links)
und X = [−π, π] (rechts). Im ersten Fall ist die Alternante eindeutig, im zweiten nicht.
Korollar 3.28 Die Alternante aus Satz 3.24 muß nicht eindeutig sein.
Übung 3.10 Zeigen Sie: Ist X symmetrisch um 0, das heißt, ist X = −X und ist f ∈ C(X)
eine (un)gerade Funktion, das heißt, ist f(x) = f(−x) bzw. f(x) = −f(−x), dann gibt es
auch eine (un)gerade Bestapproximation an f. Welche offensichtliche Konsequenz hat das für
Haar–Räume? ♦
So, einen haben wir noch an dieser Stelle, eine eigentlich ganz einfache Abschätzung,
die uns aber im nächsten Kapitel noch ganz gut weiterhelfen wird. Dieses Resultat geht auf
de la Vallée–Poussin 71 zurück.
Satz 3.29 Sei Φ ein n–dimensionaler Haar–Raum, f ∈ C(X), φ ∈ Φ, und seien x0 < · · · < xn
so, daß
sgn (f − φ) (xj) = −sgn (f − φ) (xj−1) , j = 1, . . . , n.
Dann ist
−1
d (f, Φ) ≥ min
j=0,...,n |(f − φ) (xj)| . (3.22)
Beweis: Nach Proposition 3.26 gibt es zu der Signatur σ, definiert durch
Xσ = {x0, . . . , xn} und σj = sgn (f − φ) (xj) , j = 0, . . . , n,
Koeffizienten µj > 0, j = 0, . . . , n, so daß σ eine extremale Signatur ist. Mit derselbe Argumentation
wie im Beweis von Satz 3.11 ist nun, unter Verwendung der Bestapproximation
71 Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin, 1866–1962, belgischer Mathematiker mit Beiträgen
unter anderem zur Approximationstheorie, Potentialtheorie und Zahlentheorie.
π