Approximationstheorie

4 1 WAS IST APPROXIMATIONSTHEORIE
• Gibt es, zu gegebenem x ∈ X eine Bestapproximation f ∗ ∈ P , das heißt, eine Funktion,
die
x − f ∗ ≤ x − f , f ∈ P, (1.1)
erfüllt?
• Wann ist diese Bestapproximation eindeutig?
• Kann man, für Folgen P0 ⊆ P1 ⊆ P2 ⊆ · · · von Approximationsräumen qualitative und
quantitative Aussagen über den Fehler
En(x) := inf x − f , x ∈ X,
f∈Pn
machen, beispielsweise die Dichtheitsaussage
lim
n→∞ En(x) = 0, x ∈ X
oder sogar genauere, quantitative, Aussagen über die Ordnung von En(x) in Abhängigkeit
von n und x.
• Kann man Funktionen, genauer Funktionsklassen Y ⊂ X durch die asymptoische Approximationsordnung,
also via
En(x)
Y = Yϕ := x ∈ X : 0 < lim < ∞ , ϕ : N0 → R,
n→∞ ϕ(n)
charakterisieren?
• Kann man solche Bestapproximationen charakterisieren?
• Kann man solche Bestapproximationne konstruieren oder berechnen?
Solche Fragen sind nicht nur von rein mathematischem Interesse! Kenntnisse der Struktur und
Genauigkeit von Approximationen sind immer dann wichtig, wenn man versucht, eine komplizierte
Funktion mittels einfacher “Ansatzfunktionen” dazustellen und solche Probleme sind in
vielen Bereichen der angewandten Mathematik üblich und verbreitet. Aber bevor wir uns jetzt
der “theoretischen Praxis” widmen und ein bestenfalls akademisches Spielbeispiel generieren,
vertagen wir die Anwendungen auf später, wenn wir mehr über Bestapproximation und deren
Struktur wissen.
1.2 Ein historisches Beispiel: Summation von Fourierreihen
Die Geburtsstunde der Approximationstheorie läßt sich erfreulich einfach und genau lokalisieren,
nämlich auf ein (zu seiner Zeit schockierendes) Gegenbeispiel und eine positive Aussage,
die zeigte, in welchem Sinne alles dann doch wieder “funktioniert”. Dazu brauchen wir aber
zuerst ein bißchen Information über Fourierreihen und deren Konvergenz.