Approximationstheorie

3.3 Haar–Räume und Alternanten 55
Definition 3.23 Sei f ∈ C(X), X = I oder X = T und sei φ ∈ Φ. Eine geordnete Punktmenge
66 x0 < · · · < xn heißt Alternante der Länge n, zu f und φ, wenn
f (xj) − φ (xj) = σj f − φ , j = 0, . . . , n und σj+1 = −σj, j = 0, . . . , n − 1,
(3.19)
wobei σj ∈ {±1}.
Der folgende Satz, der auf Tschebyscheff persönlich zurückgeht, der ihn 1857 für Polynome
bewiesen hat 67 , gibt uns eine einfachere Beschreibung der Bestaproximation vermittels Alternanten.
Satz 3.24 (Tschebyscheffscher Alternantensatz)
Sei Φ ein n–dimensionaler reeller Haar–Raum in C(X). Dann ist φ ∗ ∈ Φ genau dann eine
beste Approximation an f ∈ C(X) wenn es eine Alternante der Länge n zu f und φ ∗ gibt.
Übung 3.8 Zeigen Sie, daß es auf T nur Haar–Räume ungerader Dimension geben kann.
Hinweis: Diese Aufgabe steht nicht zufällig an dieser Stelle. ♦
Wir beweisen den Satz, was auch historisch korrekt ist, in zwei Teilen, indem wir zuerst
den einfachen Beweis von Tschbyscheff angeben, der zeigt, daß die Existenz einer Alternanten
hinreichend für eine Bestapproximation ist und dann zeigen, daß für Haar–Räume extremale
Signaturen (in E (f, φ∗), um genau zu sein) nichts anderes als Alternanten sind.
Proposition 3.25 (Tschebyscheff)
Sei Φ ein n–dimensionaler Haar–Raum 68 . Existiert zu φ ∗ ∈ Φ und f ∈ C(X) eine Alternante
der Länge n, dann ist φ ∗ die Bestapproximation an f aus Φ.
Beweis: Sei ψ ∈ Φ die Bestapproximation aus Φ und nehmen wir an, daß ψ = φ ∗ , das heißt
f − ψ < f − φ ∗ . Für unsere Alternantenpunkte x0, . . . , xn gilt nun, daß für j = 0, . . . , n
(ψ − φ ∗ ) (xj) = (f − φ ∗ ) (xj) − (f − ψ) (xj) = σj f − φ ∗ − (f − ψ) (xj)
= σj (f − φ ∗ − σj(f − ψ) (xj))
>0
> 0, σj > 0,
< 0, σj < 0,
weswegen ψ − φ ∗ dasselbe Vorzeichenwechselverhalten haben muß wie f − φ ∗ . Damit muß
aber ψ − φ ∗ zwischen den n + 1 Alternantenpunkten mindestens n Nullstellen haben – zu viel
für ein von Null verschiedenes Element des Haar–Raums Φ.
Aus “angewandter” Sicht ist Proposition 3.25 eigentlich vollkommen ausreichend, denn
sie ermöglicht es uns, zu entscheiden, ob ein gegebenes φ ∗ Bestapproximation ist, indem man
66 Im Fall X = T hängt das natürlich davon ab, durch welches Intervall der Länge 2π wir T darstellen, denn am
“runden Tisch” sind ja zuerst einmal alle gleichberechtigt.
67 Zumindest laut [47].
68 Wie gesagt: Tschebyscheff hat dies für die algebraischen Polynome vom Grad ≤ n gemacht.