Approximationstheorie

54 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
dann ist D(t) eine stetige Funktion in t, die die Eigenschaft D(0) = −D(1) hat, weswegen
es ein t ∗ ∈ [0, 1] geben muß, so daß D (t ∗ ) = 0 und somit eindeutige Interpolation an
u (t ∗ ) , v (t ∗ ) , x3, . . . , xn unmöglich ist. Dieses Vorgehen ist in Abb. 3.3 grafisch dargestellt.
x1
u
v
x2
Abbildung 3.3: Die Vertauschung der Punkte x1 und x2. Irgendwo dazwischen muß was
schiefgehen. Rechts die Art, wie man beim Vorliegen einer Verzweigung verfährt (siehe
z.B. [47, S. 25]), man vertauscht “nach Art des Rangierbahnhofs”, indem man zuerst x1
aufs “Abstellgleis” verschiebt, dann x2 dahin, wo er hingehört und schließlich x1 an seine
Zielposition bringt.
Diese Beobachtung schränkt natürlich unsere Möglichkeiten mit Haar–Räumen zu arbeiten,
drastisch ein, denn im wesentlichen funktioniert die Interpolation nur, wenn X keine “Verzweigungen”
besitzt, denn ansonsten können wir immer zwei Punkte durch Rangieren vertauschen.
Offenbar haben Intervalle und der Torus diese Eigenschaften 62 , aber daß dies wirklich die einzigen
sind, erfordert ein klein wenig mehr an topologischen Überlegungen. Trotzdem gilt das
folgende Resultat, das wir hier aber nicht beweisen wollen 63 , der schon klassische Satz von
Mairhuber 64 aus dem Jahre 1956.
Satz 3.22 (Satz von Mairhuber) [52]
Ein kompakter metrischer Raum X besitzt genau dann nichttriviale Haar–Räume in C(X),
wenn X homöomorph 65 zu einer kompakten Teilmenge von T ist.
Für den Rest dieses Kapitels gehen wir davon aus, daß wir es mit reellwertigen Funktionen und
entsprechend auch mit rellen Haar–Räumen bzw. Tschebyscheff–Systemen zu tun haben, aber
auch, daß unser metrischer Raum X mindestens dim Φ + 1 Punkte enthält.
62Weswegen die “Startersets” für Modelleisenbahner, die nur einen Schienenkreis und keine Weiche enthalten,
auch so langweilig sind.
63Oder könnern . . .
64John C. Mairhuber, von dem (mir) keine biografischen Daten bekannt sind, hat nach meinem Wissensstand
nur zwei Arbeiten geschrieben, nämlich [52] und [53], aber zumindest die erste davon ist ein Klassiker geworden.
65Also topologisch äquivalent.
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