Approximationstheorie

52 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
was natürlich ein Widerspruch zu
n
n
0 < ℜ (ck φ (xk)) = ℜ ck φ (xk) , j = 1, . . . , n,
k=1
k=1
ist.
Wie man sieht – Haar–Räume sind etwas feines, sie liefern nicht nur eindeutige Interpolation,
sondern sind, so ganz “nebenbei” auch gleich noch gerade diejenigen Räume, die eindeutig
interpolieren können. Damit können wir ein paar Beispiele für Haar–Räume angeben.
Beispiel 3.20 1. Die Polynomräume Πn, n ∈ N, sind Haar–Räume für jedes kompakte X ⊂
R.
2. Die trigonometrischen Polynome der Ordnung n, also
sind ein Tschebyscheff–System auf T.
3. Die Räume
{1, sin x, cos x, . . . , sin nx, cos nx}
span R {sin x, . . . , sin nx} und span R {1, cos x, . . . , cos nx}
sind Haar–Räume für jedes kompakte X ⊂ [0, π].
4. Für je n verschiedene Werte λ1, . . . , λn ∈ R sind die Räume
Λn := span R
Haar–Räume für jedes kompakte X ⊂ R.
e λj·
: j = 1, . . . , n
Beweis: Eigenschaft 1) ist die wohlbekannte Interpolationsfähigkeit der Polynome, für 2) identifizieren
wir T mit T ∗ = {z ∈ C : |z| = 1} via z = e ix , x ∈ T, z ∈ T ∗ . Da
cos x = 1 ix −ix
e + e
2
= 1 −1
z + z
2
sin x = 1 ix −ix
e − e
2i
= 1 −1
z − z
2i
,
können wir die trigonometrischen Polynome auf T mit den Laurentpolynomen auf T ∗ indentifizieren,
das heißt, mit den “Polynomen” der Form
f(z) =
n
j=−n
ajz j = z −n
2n
aj−nz j ,
die auf T ∗ wohldefiniert sind und dort brav interpolieren können.
j=0