Approximationstheorie

3.3 Haar–Räume und Alternanten 51
Sei nun f ∗ ∈ C(X) eine beliebige stetige Funktion, die die beiden Eigenschaften
f ∗ (xj) = cj
|cj| , j = 1, . . . , n, und f ∗ = 1 (3.17)
besitzt – beispielsweise der stückweise lineare Interpolant. Nun setzen wir mittels unserer
“Nulllösung” ψ
g := 1 − |ψ|
f
ψ
∗ ,
und erhalten, daß
g (xk) = f ∗ (xk) = cj
|cj|
und g ≤
|ψ|
1 −
ψ
f ∗ ≤ 1, (3.18)
also ist nach Lemma 3.19, das wir gleich beweisen werden, d (g, Φ) = 1. Da für jedes 0 < λ <
ψ−1 und jedes x ∈ X
|g(x) − λ ψ(x)| ≤
|g(x)| + λ |ψ(x)| ≤
|ψ(x)|
1 −
ψ |f ∗ (x)| +λ |ψ(x)|
≤
≤f≤1
1
1 − − λ |ψ(x)| ≤ 1 = d (g, Φ) ,
ψ
>0
ist, wäre λψ eine Bestapproximation für alle hinreichend kleinen Werte von λ, was nicht so
ganz verträglich ist mit der Existenz einer eindeutigen Bestapproximation wäre, weswegen 2)
eben doch erfüllt sein muß.
Um den Beweis von Satz 3.18 zu vervollständigen, fehlt also nur noch das folgende Resultat.
Lemma 3.19 Für jede stetige Funktion f ∗ ∈ C(X), die (3.18) erfüllt, ist d (f ∗ , Φ) = 1.
Beweis: Da 1 = f ∗ = f ∗ − 0 ist offensichtlich d (f ∗ , Φ) ≤ 1. Gäbe es nun ein φ ∈ Φ, so
daß f − φ < 1, dann ist für k = 1, . . . , n
1 > |f (xk) − φ (xk)| 2 = |f (xk)| 2
=1
+ |φ (xk)| 2
− 2ℜ φ (xk) f (xk) ,
weswegen für k = 1, . . . , n
ck
0 < ℜ φ (xk) f (xk) = ℜ φ (xk) =⇒ ℜ (ck φ (xk)) > 0
|ck|
sein muss. Schreiben wir andererseits φ als φ =
j ajφj, dann liefert uns (3.16), daß
n
ck φ (xk) =
k=1
n
ajck φj (xk) =
j,k=1
n
j=1
aj
n
k=1
ckφj (xk)
=0
= 0,