Approximationstheorie

50 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
was wiederum äquivalent dazu ist, daß das Interpolationsproblem eindeutig lösbar ist.
Nehmen wir nun an, daß 2) oder, was dasselbe ist, 3) erfüllt ist und sei für f ∈ C(X) wieder
φ ∗ = f eine Bestapproximation an f. Dann muß #E (f, φ) ≥ n + 1 sein, denn sonst gäbe es
ein Interpolationspolynom φ mit der Eigenschaft 56
und dann ist
φ (x) = − (f(x) − φ ∗ (x)) , x ∈ E (f, φ ∗ ) ,
max
x∈E(f,φ∗ ) ℜ
(f(x) − φ ∗
(x)) φ(x) = max
x∈E(f,φ∗ ) |f(x) − φ∗ (x)| 2 < 0,
im Widerspruch zum Kolmogoroff–Kriterium aus Satz 3.8. Um zu zeigen, daß φ ∗ tatsächlich
eindeutig ist, nehmen wir an, ψ ∗ wäre eine weitere Bestapproximation an f. Dann ist auch
ψ = 1
2 (φ∗ + ψ ∗ ) eine Bestapproximation an f und natürlich ist
d := f − φ ∗ = f − ψ ∗ = f − ψ .
Für jedes x ∈ E (f, ψ) erhalten wir nun aber, daß
also ist
d = |f(x) − ψ(x)| ≤ 1
2 |f(x) − φ∗ (x)| +
≤d
1
2 |f(x) − ψ∗ (x)| ≤ d,
≤d
(φ ∗ − ψ ∗ ) (x) = 0, x ∈ E (f, ψ) ,
und da #E (f, ψ) ≥ n + 1 ist, muß φ ∗ = ψ ∗ sein.
Sei nun Φ ein Haar–Raum; nun kommt der “Haarige” Teil 57 , nämlich der Nachweis der Interpolationseigenschaft.
Nehmen wir also an, 2) wäre nicht erfüllt, das heißt, es gäbe Punkte
x1, . . . , xn ∈ X und ein ψ ∈ Φ, so daß ψ (xj) = 0, j = 1, . . . , n. Für eine Basis φ1, . . . , φn von
Φ erhalten wir dieses ψ als Lösung eines linearen Gleichungssystems:
0 = a T ⎡
φ1 (x1)
⎢
V = [a1 . . . an] ⎣ .
. . .
. ..
⎤
φ1 (xn)
⎥
. ⎦ =⇒ ψ :=
φn (x1) . . . φn (xn)
n
j=1
aj φj.
Da dieses System eine nichttriviale Lösung a = 0 besitzt, muß es auch ein c = 0 geben58 , so
daß V c = 0 ist, d.h.,
n
n
cjφk (xj) = 0, k = 1, . . . , n ⇐⇒ cj φ (xj) = 0, φ ∈ Φ. (3.16)
j=1
56Sollte # (f, φ) < n sein, dann suchen wir uns einfach noch ein paar beliebige Punkte und schreiben dort
beliebige Werte vor.
57Nicht weil der Beweis übermäßig kompliziert wäre, sondern weil das wohl der Teil ist, der in [27] bewiesen
wurde – allerdings ist dies nur Hörensagen aus [47].
58Die Matrix ist quadratisch und wenn sie “von links” einen Rangdefekt hat, dann auch “von rechts”. Der
Standardspruch aus der linearen Algebra lautet: Zeilenrang = Spaltenrang.
j=1