Approximationstheorie

3.3 Haar–Räume und Alternanten 49
3.3 Haar–Räume und Alternanten
Als nächstes befassen wir uns mit der folgenden Frage:
Wie müssen Teilräume Φ ⊂ C(X) beschaffen sein, damit man für jedes f ∈ C(X)
genau ein Element bester Approximation hat?
Definition 3.17 Ein Raum Φ ⊂ C(X) heißt Haar 53 –Raum oder Tschebyscheff–Raum, wenn
#PΦ(f) = 1 für jedes f ∈ C(X). Eine Basis von Φ heißt Tschebyscheff–System, wenn Φ ein
Haar–Raum ist.
Haar–Räume haben also die schöne und gewünschte Eigenschaft, daß die Bestapproximation
stets eindeutig ist, nur haben wir mit Definition 3.17 noch nicht allzuviel gewonnen, sondern
nur der Eigenschaft, die uns interessiert, einen anderen Namen gegeben. Allerdings gibt es eine
weitere Beschreibung der Haar–Räume, die zumindest teilweise auf Haar selbst [27] zurückgeht.
Satz 3.18 Sei X ein kompakter Hausdorffraum, #X ≥ n + 1, und sei Φ ein n–dimensionaler
Teilraum von C(X). Dann sind äquivalent:
1. Φ ist ein Haar–Raum.
2. Eindeutige Interpolation mit Φ ist immer möglich: Zu je n Punkten x1, . . . , xn ∈ X und
Werten y1, . . . , yn ∈ C gibt es genau ein φ ∈ Φ, so daß
φ (xj) = yj, j = 1, . . . , n.
3. jedes 0 = φ ∈ Φ besitzt höchstens n − 1 Nullstellen, d.h.,
#Z (φ) = # {x ∈ X : φ(x) = 0} < n, φ ∈ Φ. (3.15)
Beweis: Beginnen wir mit der (einfachen) Äquivalenz von 2) und 3). In der Tat ist (3.15) dazu
äquivalent, daß für54 x1, . . . , xn ∈ X die einzige Lösung des homogenen Interpolationsproblems
φ (xj) = 0 die Funktion φ = 0 sein kann. Das ist aber wiederum dazu äquivalent, daß für
eine55 Basis φ1, . . . , φn von Φ
⎡
φ1 (x1)
⎢
0 = det ⎣ .
. . .
. ..
⎤
φ1 (xn)
⎥
. ⎦ ,
φn (x1) . . . φn (xn)
53 Alfréd Haar, 1885–1933, ungarischer Mathematiker, studierte in Göttingen bei Hilbert und ist neben dem
Haar–Raum auch durch Haar–Maße (invariante Maße auf Gruppen) und die Haar–Wavelets bekannt.
54 Natürlich disjunkte Punkte
55 Und damit für jede! Warum?