Approximationstheorie

48 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
2. Der komplexe Fall geht praktisch analog, nur werden jetzt die Halbräume durch das bilineare
reellwertige Skalarprodukt ℜ〈·, ·〉 bestimmt:
H (y, a) = z ∈ C n
n
: ℜ
≤ a , y ∈ C n , a ∈ R.
j=1
Die Bedingung (3.12) folgt nun aus einer komponentenweisen Betrachtung von (3.11) und Lemma
3.13, und (3.13) ist offensichtlich äquivalent zu (3.12).
zj yj
Übung 3.6 Als Halbräume im R r bezeichnet man Mengen der Form
H = H (y, a) = x ∈ R r : y T x ≤ a , y ∈ R r , a ∈ R.
Zeigen Sie: Ist Y ⊂ R r kompakt, dann ist
[Y ] =
Y ⊂H
Jetzt aber endlich, zum Abschluß dieses Kapitels, der Beweis, der noch fehlt.
Beweis von Satz 3.11: Sei φ ∗ ein Bestapproximant. Mit den Punkten x0, . . . , xr aus Proposition
3.14 setzen wir Xσ = {x0, . . . , xr}, schreiben
αj (f (xj) − φ ∗ (xj)) = αj |f (xj) − φ ∗ (xj)|
=:µj
H.
e iθj , µj > 0, |σj| = 1, j = 0, . . . , r,
=:σj
und nach (3.13) ist dies die gewünschte extremale Signatur.
Sei nun σ eine extremale Signatur der Länge r + 1, r ≤ dimR Φ, dann ist für jedes φ ∈ Φ
0 =
r
j=0
und somit, nach unseren Annahmen an die Signatur
f − φ
r
|µj| ≥
j=0
=
=
r
j=0
r
j=0
r
j=0
µj σj (φ ∗ (xj) − φ (xj))
|f (xj) − φ (xj)| |σj|
=1
|µj| ≥
(f (xj) − φ ∗ (xj)) µj σj +
r
j=0
r
(f (xj) − φ (xj))µj σj
j=0
|f (xj) − φ ∗ (xj)|
=f−φ∗ µj |σj| = f − φ
∗
(φ ∗ (xj) − φ (xj)) µj σj
=0
r
|µj|
und da die µj alle strikt positiv waren, muß φ ∗ eine Bestapproximation sein.
j=0
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