Approximationstheorie

And first, so that all may understand
what is the peril, the tale [. . .] shall be
told from the beginning even to this time
present.
J. R. R. Tolkien, The Lord of the Rings
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Was ist
Approximationstheorie
Bevor wir uns mit der Approximationstheorie und ihren wesentlichen Resultaten beschäftigen,
ist es zuerst einmal sinnvoll, uns die wesentlichen Fragestellungen anzusehen, mit denen sich
die Approximationstheorie beschäftigt, und zwar nicht nur “abstrakt” theoretisch, sondern vor
allem anhand eines klassischen Beispiels, nämlich der (Nicht-)Konvergenz von Fourierreihen.
1.1 Grundsätzliche Fragen
Untersuchungsobjekt der Approximationstheorie ist die Darstellung “komplizierter” Objekte
(meist Funktionen) durch einfachere Objekte, die sich mit endlicher Information darstellen lassen.
Die Standardsituation ist ein normierter Raum X mit Norm · und ein meist endlichdimensionaler
Teilraum P ⊂ X, dessen Elemente die “einfachen” Funktionen sind.
Beispiel 1.1 Die beiden gebräuchlichsten Fälle von Approximationsräumen sind
1. X = C [a, b], der Vektorraum aller stetigen Funktionen f : [a, b] → R mit der Norm
f = f∞ = max |f(x)| , f ∈ C[a, b],
x∈[a,b]
und P = Πn, der (n + 1)–dimensionale Vektorraum aller algebraischen Polynome vom
Grad ≤ n.
2. X = C(T) der Vektorraum aller stetigen, 2π–periodischen Funktionen und
P = Pn = span {1, sin x, cos x, . . . , sin nx, cos nx}
der (2n + 1)–dimensionale Vektorraum der trigonometrischen Polynome vom Grad ≤ n.
Die Fragen, mit denen sich die Approximationstheorie beschäftigt, können nun folgendermaßen
formuliert werden:
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