Approximationstheorie

3.2 Das Kolmogoroff–Kriterium und extremale Signaturen 47
Beweis: Da die euklidische Norm strikt konvex ist, liefert uns Proposition 3.6 die Existenz 51
einer eindeutigen Bestapproximation w ∗ aus Ω an y. Diese zeichnet sich dann durch
0 < y − w 2
2 − y − w∗ 2
2 = w2 2 − w ∗ 2
2 + 2yT (w ∗ − w)
= (w + w ∗ ) T (w − w ∗ ) T − 2y T (w − w ∗ ) = ((w − y) + (w − y)) (w − w ∗ ) .
Ersetzen wir w durch αw + (1 − α)w ∗ , α ∈ [0, 1], dann erhalten wir
0 < (α (w − y) + (2 − α) (w ∗ − y)) α (w − w ∗ ) ,
was wir durch 2α dividieren können, um dann durch Grenzübergang α → 0 “zu Fuß” das
entsprechende Kolmogoroff–Kriterium 52
0 ≤ (w ∗ − y) T (w − w ∗ ) = a T w + c, a := w ∗ − y, c := −a T w ∗ ,
zu erhalten, was uns sagt, daß a T Ω ≥ 0 ist. Andererseits ist, mit w = y,
a T y + c = (w ∗ − y) T (y − w ∗ ) = − y − w ∗ 2
2 < 0.
Beweis von Proposition 3.14: Wir beginnen mit (3.11) und bemerken zuerst, daß die Abbildung
n R ,
g : X → Z =
Cn
g(x) = (f(x) − φ
,
∗
(x)) φj(x) : j = 1, . . . , n ,
stetig ist und die kompakte Menge E (f, φ ∗ ) auf eine kompakte Menge Y = g (E (f, φ ∗ )) ⊂ Z
abbildet. Also ist [Y ], die Menge, für die wir uns interessieren, eine konvexe und kompakte
Menge im R n oder im C n , je nachdem, ob wir den rellen oder den komplexen Fall betrachten.
1. Der relle Fall: Da [Y ] der Durchschnitt aller Halbräume ist, die [Y ] enthalten, siehe
Übung 3.6, ist 0 ∈ [Y ] dazu äquivalent, daß es eine Trennhyperebene H gibt, so daß
0 ∈ H und Y ⊂ [Y ] ⊂ H, siehe Abb. 3.2.
Das ist aber äquivalent dazu, daß es c ∈ R und a ∈ Rn gibt, so daß c ≥ 〈y, a〉, y ∈ Y ,
also
n
,
0 > c ≥ max 〈y, a〉 = max
y∈Y y∈Y aT y = max
x∈E(f,φ∗ ) (f(x) − φ∗ (x))
j=1
φj(x) aj
=:φ(x)
was genau die Negation von (3.4) ist, also äquivalent dazu ist, daß φ ∗ keine Bestapproximation
ist.
51 Der Beweis nutzt nur Konvexität, nicht aber Approximation durch einen linearen Unterraum.
52 Man beachte: Eigentlich ist der Trennhyperebenensatz eine direkte Konsequenz des Kolmogoroff–Kriteriums
im R n .