Approximationstheorie
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46 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN<br />
3. Es gibt Punkte x0, . . . , xr ∈ E (f, φ ∗ ) und α ∈ ∆ ◦ r, r ≤ dimR Φ, so daß<br />
r<br />
αj (f (xj) − φ ∗ (xj)) φk (xj) = 0, k = 1, . . . , n. (3.12)<br />
j=0<br />
4. Es gibt Punkte x0, . . . , xr ∈ E (f, φ ∗ ) und α ∈ ∆ ◦ r, r ≤ dimR Φ, so daß<br />
r<br />
αj (f (xj) − φ ∗ (xj)) φ (xj) = 0, φ ∈ Φ. (3.13)<br />
j=0<br />
Bemerkung 3.15 Die Bedingung (3.13) zeigt wohl die meiste Ähnlichkeit mit der L2–Charakterisierung<br />
(2.17), nur hat man hier ein inneres Produkt 50<br />
〈f, g〉 =<br />
r<br />
αj f (xj) g (xj), f, g ∈ C(X)<br />
j=0<br />
mit Summation über Punktauswertungen (“diskrete Maße”), die allerdings von φ ∗ und f abhängen.<br />
Proposition 3.16 (Trennhyperebenensatz) Ist Ω ⊂ R n abgeschlossen und konvex und y ∈ Ω,<br />
dann gibt es a ∈ R n und c ∈ R, so daß<br />
a T y + c < 0 ≤ a T Ω + c := a T w + c : x ∈ Ω . (3.14)<br />
Abbildung 3.2: Die Idee der Trennhyperebene: Die konvexe Menge liegt immer auf einer<br />
Seite jeder Hyperebene, die mit dieser Menge nichtleeren Schnitt hat. Gehört nun ein Punkt<br />
nicht dazu, dann kann man immer eine Hyperebene finden, so daß dieser Punkt auf einer<br />
Seite dieser Hyperebene liegt und die konvexe Menge auf der anderen.<br />
50 Allerdings mit der Einschränkung, daß 〈f, f〉 = 0 sein kann für manche f ∈ C(X).