Approximationstheorie

46 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
3. Es gibt Punkte x0, . . . , xr ∈ E (f, φ ∗ ) und α ∈ ∆ ◦ r, r ≤ dimR Φ, so daß
r
αj (f (xj) − φ ∗ (xj)) φk (xj) = 0, k = 1, . . . , n. (3.12)
j=0
4. Es gibt Punkte x0, . . . , xr ∈ E (f, φ ∗ ) und α ∈ ∆ ◦ r, r ≤ dimR Φ, so daß
r
αj (f (xj) − φ ∗ (xj)) φ (xj) = 0, φ ∈ Φ. (3.13)
j=0
Bemerkung 3.15 Die Bedingung (3.13) zeigt wohl die meiste Ähnlichkeit mit der L2–Charakterisierung
(2.17), nur hat man hier ein inneres Produkt 50
〈f, g〉 =
r
αj f (xj) g (xj), f, g ∈ C(X)
j=0
mit Summation über Punktauswertungen (“diskrete Maße”), die allerdings von φ ∗ und f abhängen.
Proposition 3.16 (Trennhyperebenensatz) Ist Ω ⊂ R n abgeschlossen und konvex und y ∈ Ω,
dann gibt es a ∈ R n und c ∈ R, so daß
a T y + c < 0 ≤ a T Ω + c := a T w + c : x ∈ Ω . (3.14)
Abbildung 3.2: Die Idee der Trennhyperebene: Die konvexe Menge liegt immer auf einer
Seite jeder Hyperebene, die mit dieser Menge nichtleeren Schnitt hat. Gehört nun ein Punkt
nicht dazu, dann kann man immer eine Hyperebene finden, so daß dieser Punkt auf einer
Seite dieser Hyperebene liegt und die konvexe Menge auf der anderen.
50 Allerdings mit der Einschränkung, daß 〈f, f〉 = 0 sein kann für manche f ∈ C(X).