Approximationstheorie

3.2 Das Kolmogoroff–Kriterium und extremale Signaturen 45
Übung 3.5 Zeigen Sie, daß
[Y ] =
r
j=0
αr yr : yj ∈ Y, α ∈ ∆r, r ∈ N0.
Als erstes eine kleine Hilfsaussage über die Darstellung konvexer Hüllen im R n .
Lemma 3.13 Für Y ⊂ Rn ist
r
[Y ] =
j=0
αj yj : yj ∈ Y, α ∈ ∆ ◦ r, r ≤ n
♦
(3.10)
Beweis: Zwei Dinge sind in diesem Lemma entscheidend und zwar die Darstellung als strikte
Konvexkombination, d.h., α ∈ ∆◦ r, und die obere Schranke für die Anzahl der Punkte, die
konvex kombiniert werden sollen49 . Da die rechte Seite von (3.10) eine konvexe Menge ist, die
Y enthält, ist ⊆ klar.
Sei also y ∈ [Y ]; nach Übung 3.5 gibt es (mindestens) eine Darstellung von y der Form (3.10),
zumindest, nachdem man alle Nullkoeffizienten eliminiert hat. Wenn es mehrere Darstellungen
gibt, dann wählen wir eine, bei der r minimal wird. Nehmen wir nun an, daß r > n ist, dann sind
die Vektoren yj − y0, j = 1, . . . , r, linear abhängig und daher gibt es nichttriviale Koeffizienten
β1, . . . , βr, so daß
r
r
r
r
r
0 = βj (yj − y0) = − y0 + βj yj =: γj yj, γj = 0,
j=1
j=1
βj
und mindestens ein γj ist von Null verschieden, sagen wir γ1. Nun ist für jedes λ ∈ R
y = y + 0 =
r
αj yj + λ
j=0
r
j=0
γj yj =
j=1
j=0
j=0
r
(αj + λγj) yj, α ∈ ∆r,
aber durch λ = − α1
γ1 erhalten wir, daß α1 = 0 ist, was der Minimalität von r widerspricht.
Als nächstes ein paar Umformulierungen der Kolmogoroff–Kriteriums (3.2).
j=0
=:eαj
Proposition 3.14 Für φ ∗ ∈ Φ und f ∈ C(X) sind äquivalent:
1. φ ∗ ist Bestapproximation an f in Φ.
2. Wir haben, daß
⎡
0 ∈ ⎣
x∈E(f,φ ∗ )
(f(x) − φ ∗
(x)) φj(x) : j = 1, . . . , n
⎤
⎦ . (3.11)
49 Was geometrisch nichts anderes bedeutet, als daß man redundante Punkte wegwirft.