Approximationstheorie

44 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
3. Da jede komplexe Zahl via Real- und Imaginärteil als relle Zahl aufgefasst werden kann,
können wir jeden komplexen Vektorraum der Dimension n auch als rellen Vektorraum der
Dimension 2n auffassen. Die reelle Dimension eines solchen Vektorraums bezeichnen wir
als
n n, V R ,
dimR V =
2n, V Cn .
Diese Notation überträgt sich auch auf endlichdimensionale Funktionenräume, denn schließlich
ist ja entweder Φ R n oder Φ C n .
Solche extremalen Signaturen sind nun die Antwort auf unsere Frage nach den Extremalmengen,
die im folgenden Satz von Rivlin und Shapiro [63] gegeben wurde – insbesondere, was
die Endlichkeit der zu betrachtenden Extremalmengen angeht.
Satz 3.11 (Satz von Rivlin und Shapiro) Sei f ∈ C(X) und f = φ ∗ ∈ Φ. Dann ist φ ∗ genau
dann eine Bestapproximation an f, wenn es eine extremale Signatur σ der Länge r + 1, r ≤
dimR Φ für Φ gibt mit Xσ ⊂ E (f, φ ∗ ) und
sgn (f (xj) − φ ∗ (xj)) = σj, j = 0, . . . , r. (3.8)
Wieder einmal wird der Beweis ein klein wenig mehr Arbeit machen. Diesmal brauchen wir
Hilfsmittel aus der Konvexitätstheorie – das ist übrigens kein Zufall, wenn man sich den Titel
der Arbeit [63] ansieht, denn schließlich hat lineare Optimierung eine ganze Menge mit Konvexität
zu tun!
Definition 3.12 Seien x0, . . . , xr ∈ X.
1. Ein Element x ∈ X heißt Konvexkombination von x0, . . . , xr, wenn
x =
r
αj xj, αj ≥ 0, j = 0, . . . , r,
j=0
2. Mit ∆r bezeichnen wir das r–dimensionale Einheitssimplex
r
αj = 1. (3.9)
∆r := α = (α0, . . . , αr) ∈ R r+1 : αj ≥ 0, α0 + · · · + αr = 1
und sein Inneres, ∆ ◦ r, mit
j=0
∆ ◦ r := {α ∈ ∆r : αj > 0, j = 0, . . . , r.} .
3. Die konvexe Hülle von Y ⊂ X ist definiert als
[Y ] := {α y + (1 − α) y ′
4. Y ⊂ X heißt konvex, wenn Y = [Y ].
: α ∈ [0, 1], y, y ′ ∈ Y }