Approximationstheorie
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44 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN<br />
3. Da jede komplexe Zahl via Real- und Imaginärteil als relle Zahl aufgefasst werden kann,<br />
können wir jeden komplexen Vektorraum der Dimension n auch als rellen Vektorraum der<br />
Dimension 2n auffassen. Die reelle Dimension eines solchen Vektorraums bezeichnen wir<br />
als<br />
<br />
n n, V R ,<br />
dimR V =<br />
2n, V Cn .<br />
Diese Notation überträgt sich auch auf endlichdimensionale Funktionenräume, denn schließlich<br />
ist ja entweder Φ R n oder Φ C n .<br />
Solche extremalen Signaturen sind nun die Antwort auf unsere Frage nach den Extremalmengen,<br />
die im folgenden Satz von Rivlin und Shapiro [63] gegeben wurde – insbesondere, was<br />
die Endlichkeit der zu betrachtenden Extremalmengen angeht.<br />
Satz 3.11 (Satz von Rivlin und Shapiro) Sei f ∈ C(X) und f = φ ∗ ∈ Φ. Dann ist φ ∗ genau<br />
dann eine Bestapproximation an f, wenn es eine extremale Signatur σ der Länge r + 1, r ≤<br />
dimR Φ für Φ gibt mit Xσ ⊂ E (f, φ ∗ ) und<br />
sgn (f (xj) − φ ∗ (xj)) = σj, j = 0, . . . , r. (3.8)<br />
Wieder einmal wird der Beweis ein klein wenig mehr Arbeit machen. Diesmal brauchen wir<br />
Hilfsmittel aus der Konvexitätstheorie – das ist übrigens kein Zufall, wenn man sich den Titel<br />
der Arbeit [63] ansieht, denn schließlich hat lineare Optimierung eine ganze Menge mit Konvexität<br />
zu tun!<br />
Definition 3.12 Seien x0, . . . , xr ∈ X.<br />
1. Ein Element x ∈ X heißt Konvexkombination von x0, . . . , xr, wenn<br />
x =<br />
r<br />
αj xj, αj ≥ 0, j = 0, . . . , r,<br />
j=0<br />
2. Mit ∆r bezeichnen wir das r–dimensionale Einheitssimplex<br />
r<br />
αj = 1. (3.9)<br />
∆r := α = (α0, . . . , αr) ∈ R r+1 : αj ≥ 0, α0 + · · · + αr = 1 <br />
und sein Inneres, ∆ ◦ r, mit<br />
j=0<br />
∆ ◦ r := {α ∈ ∆r : αj > 0, j = 0, . . . , r.} .<br />
3. Die konvexe Hülle von Y ⊂ X ist definiert als<br />
[Y ] := {α y + (1 − α) y ′<br />
4. Y ⊂ X heißt konvex, wenn Y = [Y ].<br />
: α ∈ [0, 1], y, y ′ ∈ Y }