Approximationstheorie

3.2 Das Kolmogoroff–Kriterium und extremale Signaturen 43
Ist nun zusätzlich44 λ < δ , dann ist für jedes x ∈ X \ G
2ψ
|f(x) − φλ(x)| = |f(x) − φ ∗ (x) + λ ψ(x)| ≤ |f(x) − φ ∗ (x)| + λ |ψ(x)|
≤ f − φ ∗ − δ + λ ψ < f − φ ∗ − δ + δ
2ψ ψ = f − φ∗ − δ
2 ,
und somit erhalten wir, daß
ε δ
0 < λ < min 2 ,
ψ 2ψ
=⇒ f − φλ < f − φ ∗ ,
was den gewünschten Widerspruch liefert.
Für die Umkehrung nehmen wir an, daß (3.2) erfüllt ist und erhalten mit der nun schon bekannten
Rechnung, daß für jedes φ ∈ Φ und x ∈ E (f, φ ∗ )
|f(x) − φ(x)| 2 = |(f(x) − φ ∗ (x)) + (φ ∗ (x) − φ(x))| 2
= |f(x) − φ ∗ (x)| 2 + |φ ∗ (x) − φ(x)| 2
+ 2 ℜ (f(x) − φ ∗
(x)) (φ∗
(x) − φ(x))
≥0
≥ |f(x) − φ ∗ (x)| 2 = f − φ ∗ 2 ,
weswegen erst recht f − φ ≥ f − φ ∗ und somit φ ∗ eine Bestapproximation ist.
Wir haben jetzt also eine Charakterisierung der Bestapproximation über das Vorzeichenverhalten
auf der Extremalpunktmenge E (f, φ ∗ ). Anders gesagt: Für jedes φ ∈ Φ brauchen wir
uns “nur” das Vorzeichenverhalten auf dieser Menge anzusehen und zu versuchen, ein ψ ∈ Φ
zu finden das dort dasselbe Vorzeichenverhalten hat – gibt es so etwas, dann hat −ψ das entgegengesetzte
Vorzeichenverhalten und unser φ ist keine Bestapproximation, gibt es sowas nicht,
dann ist φ die gesuchte Bestapproximation.
Leider gibt es da aber noch ein kleines Problem: Wir haben keine Ahnung, wie diese Extremalpunktmenge
aussieht, ob sie endlich oder unendlich, abzählbar oder überabzählbar ist.
Doch mit ein bißchen mehr Aufwand 45 kann man hier einiges mehr an Information erhalten.
Definition 3.10 1. Eine Signatur 46 σ der Länge r + 1 ∈ N0 besteht aus Punkten Xσ =
{x0, . . . , xr} ⊂ X und komplexen Zahlen 47 σ0, . . . , σr ∈ C mit der Eigenschaft, daß
|σj| = 1, j = 0, . . . , r.
2. Eine Signatur σ heißt extremal für Φ ⊂ C(X), wenn es zusätzlich positive48 Zahlen
µ0, . . . , µr ∈ R+ gibt, so daß
r
µj σj φ (xj) = 0, φ ∈ Φ. (3.7)
j=0
44Wir bekommen zwei Bedingungen an λ und wählen einfach die kleinere der beiden.
45Den wir nun auch betreiben wollen!
46Der Name kommt nicht von “Unterschrift”, sondern vom englischen Wort “sign” und bedeutet im wesentlich
“Vorzeichenvorgabe”.
47Den “Vorzeichen”; im rellen Fall ist σj = ±1, im komplexen ist σj = eiθj , θj ∈ T.
48Und damit reelle! Schließlich ist C ja kein archimedisch geordneter Körper mehr.
∈Φ