Approximationstheorie

42 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
3. Dies liefert auch eine “Minimalforderung” an die Größe der Extremalpunktmenge und an
das Verhalten der “Fehlerfunktion” f − φ ∗ , denn diese muß auf der Extremalpunktmenge
so viele Vorzeichenwechsel haben haben, daß es keine Funktion φ ∈ Φ mehr gibt, die
imstande ist, all diese Vorzeichenwechsel mitzumachen. Denn jedes φ ∈ Φ, das es schafft,
sgn φ(x) = −sgn (f(x) − φ ∗ (x)) , x ∈ E (f, φ ∗ ) ,
zu erfüllen, “zerstört” ja auch (3.4).
Übung 3.4 Zeigen Sie: Ist Φ = Πn−1, dann besteht jede Extremalpunktmenge aus mindestens
n + 1 Punkten. ♦
Beweis von Satz 3.8: Sei φ∗ eine Bestapproximation und nehmen wir an, daß (3.2) nicht gilt,
das heißt, es gibt ein ε > 0 und ein ψ ∈ Φ, so daß
max
x∈E(f,φ∗ ) ℜ
(f(x) − φ ∗
(x)) ψ(x) = −2ε < 0
ist; wir werden einen Widerspruch generieren, indem wir mit Hilfe von ψ eine bessere Approximation
an f als φ ∗ konstruieren, und zwar, indem wir die Familie
φλ := φ ∗ − λ ψ, λ ∈ R+,
betrachten. Da die Funktion g := ℜ (f(x) − φ ∗ (x)) ψ(x) stetig ist, gibt es eine offene Menge
G, E (f, φ ∗ ) ⊂ G ⊂ X, so daß g(x) < −ε, x ∈ G. Für x ∈ G ist nun
|f(x) − φλ(x)| 2 = |(f − φ ∗ ) + λψ| 2
und wir erhalten für
die Verbesserung
= ((f(x) − φ ∗ (x)) + λψ(x)) ((f(x) − φ ∗ (x)) + λψ(x))
= (f(x) − φ ∗ (x)) (f(x) − φ ∗ (x)) + λ 2 ψ(x)ψ(x)
+ λ (f(x) − φ ∗ (x)) ψ(x) + λ (f(x) − φ ∗ (x)) ψ(x)
=2λℜ((f(x)−φ ∗ (x)) ψ(x))
= |f(x) − φ ∗ (x)| 2 + λ 2 |ψ(x)| 2 + 2λℜ
< |f(x) − φ ∗ (x)| 2 + λ 2 ψ 2 − 2λε
λ < ε
ψ 2 =⇒ λ λ ψ 2 − 2ε < −λε
(f(x) − φ ∗
(x)) ψ(x)
|f(x) − φλ(x)| 2 < |f(x) − φ ∗ (x)| 2 − λɛ, x ∈ G. (3.5)
Auf der abgeschlossenen (und somit kompakten) Menge X \ G hingegen ist, da E (f, φ ∗ ) ⊂ G,
der Fehler f − φ ∗ im Absolutbetrag immer strikt kleiner als f − φ ∗ und wegen der Kompaktheit
gibt es ein δ > 0, so daß
max
x∈X\G |f(x) − φ∗ (x)| ≤ f − φ ∗ − δ. (3.6)