Approximationstheorie

3.2 Das Kolmogoroff–Kriterium und extremale Signaturen 41
was ein Widerspruch ist. Wegen der strikten Konvexität erhalten wir nun aber für jedes α ∈
(0, 1), daß
d (f, Φ) ≤ f − α φ − (1 − α) φ ′ < α f − φ
=d(f,Φ)
+(1 − α) f − φ ′ = d (f, Φ) ,
=d(f,Φ)
und das ist natürlich ein Widerspruch.
3.2 Das Kolmogoroff–Kriterium und extremale Signaturen
Jetzt werden wir wieder konkreter, und zwar sei nun X ein kompakter Hausdorffraum und
Φ ⊂ C(X) ein endlichdimensionaler C–Teilraum der komplexwertigen stetigen Funktionen
auf X.
Das Kolmogoroff 42 –Kriterium aus [37] ist das stetige Gegenstück zum L2–Bestapproximationskriterium
(2.17) aus Lemma 2.22. Da allerdings nun die “Orthogonalität” nicht mehr
bezüglich eines Integrals betrachtet wird, brauchen wir zuerst einen neuen Begriff.
Definition 3.7 Für f ∈ C(X) und φ ∈ Φ bezeichnen wir mit
die Extremalpunktmenge von f und φ.
E (f, φ) := {x ∈ X : |f(x) − φ(x)| = f − φ}
Satz 3.8 φ∗ ∈ Φ ist genau dann Bestapproximation an f ∈ C(X) in Φ, wenn
max
x∈E(f,φ∗ ) ℜ
(f(x) − φ ∗
(x)) φ(x) ≥ 0, φ ∈ Φ. (3.2)
Bevor wir diesen Satz beweisen, sollten wir erst einmal versuchen, zu verstehen, was er uns
sagt.
Bemerkung 3.9 1. Indem wir alle φ durch −φ ersetzen, erhalten wir die zu (3.2) äquivalente43
Bedingung
min
x∈E(f,φ∗ ) ℜ
(f(x) − φ ∗
(x)) φ(x) ≤ 0, φ ∈ Φ. (3.3)
2. In der reellen Version bedeutet ja (3.2), daß
max
x∈E(f,φ∗ ) (f(x) − φ∗ (x)) φ(x) ≥ 0, φ ∈ Φ. (3.4)
42 Andrey Nikolaevich Kolmogoroff (oder “Kolmogorov”), 1903–1987, trug wesentlich zu den Grundlagen der
Wahrscheinlichkeitstheorie, aber auch zu Approximationstheorie, Topologie, Funktionalanalysis, Geometrie und
so einigem mehr bei. Mit anderen Worten: einer der ganz, ganz großen Mathematiker des 20. Jahrhunderts!
43 Optimierer würden fast schon “duale” sagen . . .