Approximationstheorie

40 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
3. Man kann leicht sehen, daß auf dem R n die Normen · 1 und · ∞ “nur” konvex, die
Normen · p, 1 < p < ∞, hingegen strikt konvex sind, siehe Abb 3.1.
4. Mit Blick auf Proposition 3.6 können wir also davon ausgehen, daß die Approximationstheorie
bezüglich strikt konvexer Normen auch strukturell anders aussehen wird, als die
bezüglich “nur” konvexer Normen.
p=1 p=2 p=oo
Abbildung 3.1: Die Einheitskugeln bezüglich der Normen · 1, · 2 und · ∞ im R 2 .
Man sieht ganz gut, welche strikt konvex ist und welche es nicht sind.
Übung 3.3 Es sei F = C(X), X ein kompakter Hausdorffraum. Zeigen Sie:
1. Die Norm
ist strikt konvex.
2. Die Normen
f1 :=
sind nicht strikt konvex.
X
f2 :=
X
|f(t)| 2 1/2 dt
|f(t)| dt und f ∞ := max
x∈X |f(x)|
Proposition 3.6 Ist die Norm · strikt konvex, dann ist für jedes f ∈ F die Bestapproximation
eindeutig, also #PΦ(f) = 1.
Beweis: Nehmen wir an, zu f ∈ F gäbe es zwei Bestapproximation φ = φ ′ ∈ Φ. Wäre nun
f − φ = λ (f − φ ′ ) für ein λ ∈ R, dann hieße dies, daß
f (1 − λ) = φ − λφ ′
=⇒ f ∈ Φ =⇒ φ = φ ′ = f,
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