Approximationstheorie

3.1 Approximation durch lineare Räume 39
ansonsten wählen wir uns eine passende Teilfolge. Dieses Maximum wird für mindestens
ein k unendlich oft angenommen, sagen wir, für k = 1, andernfalls numerieren wir unsere
Basisfunktionen φ1, . . . , φn um. Also gibt es eine Teilindizierung jℓ, so daß
|ajℓ,1| ≥ |ajℓ,k| , k = 2, . . . , n.
Sei ψℓ = ψjℓ /ajℓ,1. Da |ajℓ,1| → ∞, erhalten wir daß
und da
ψℓ =
n
ajℓ,k
ajℓ,1
k=1
nach Teil 1, erhalten wir, daß
0 =
φ1
n
+
ψℓ
≤
φk = φ1 +
k=2
bk φk
ψjℓ
|ajℓ,1|
n
k=2
im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit.
≤ M
|ajℓ,1|
ajℓ,k
ajℓ,1
|·|≤1
→ 0
φk → φ1 +
, =⇒ φ1 = −
n
k=2
n
k=2
bk φk,
bk φk,
Übung 3.2 Zeigen Sie, daß die Abbildung · : F → R stetig ist. ♦
Definition 3.4 Die Norm · bzw. den normierten Raum (F, · ) bezeichnet man als strikt
konvex, wenn
f + f ′ = f + f ′ =⇒ f ′ = λf, 0 ≤ λ ∈ R.
Bemerkung 3.5 1. Die Namensgebung “strikt konvex” kommt daher, daß die Norm immer
eine konvexe Funktion ist, d.h.,
α f + (1 − α) f ′ ≤ α f + (1 − α) f , α ∈ [0, 1], f, f ′ ∈ F ; (3.1)
Gilt obige Zusatzforderung, dann ist die Norm eine strikt konvexe Funktion, wenn man
den “Trivialfall” f ′ = f ausschließt, bei dem die strikte Ungleichung wegen der positiven
Homogenität der Norm nicht gelten kann.
2. Man kann es aber auch noch anders sehen: Die Einheitskugel
B1 := {f ∈ F : f ≤ 1}
bezüglich der Norm · ist eine konvexe Menge – das erhält man wieder mittels (3.1);
ist nun die Norm strikt konvex, dann ist auch die Einheitskugel strikt konvex, ihr Rand
enthält also keine “Geradenstücke”.