Approximationstheorie

38 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
Beweis: Was wir beweisen werden, ist eine Kompaktheitsaussage, die im wesentlichen auf der
Endlichdimensionalität von Φ beruht.
Es gibt eine Folge ψk ∈ Φ, k ∈ N0, so daß
d (f, Φ) = inf f − φ = lim
φ∈Φ k→∞ f − ψk ,
und für diese Funktionen gilt, daß für jedes k ∈ N0
ψk ≤ f + f − ψk
→d(f,Φ)
≤ f + max f − ψk =: M < ∞.
k∈N0
Da ψk eine Folge in der endlichdimensionalen und damit kompakten Menge aller Vektoren mit
Norm ≤ M ist, können wir eine Teilfolge ψkj extrahieren, die gegen einen Vektor
φ ∗ = lim
j→∞ ψkj
konvergiert und da die Norm stetig ist (siehe Übung 3.2), haben wir, daß
f − φ ∗
=
f − lim
= lim f − ψkj = d (f, Φ)
j→∞ ψkj
ist.
Bleibt also noch die Kompaktheit. Zu diesem Zweck seien ajk diejenigen Koeffzienten, für die
ψj =
j→∞
0, j ∈ N0,