Approximationstheorie

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2 INHALTSVERZEICHNIS 6.4 Approximationsordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7 Wavelets 138 7.1 Multiresolution Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.2 Orthogonale Skalierungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.3 Wavelets für orthonormale Skalierungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.4 Approximation mit Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8 Der Satz von Kolmogoroff 158 8.1 Nomographie, Hilberts 13. Problem und Kolmogoroffs Lösung . . . . . . . . . 158 8.2 Von Würfeln und Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.3 Der Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.4 Neuronale Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
And first, so that all may understand what is the peril, the tale [. . .] shall be told from the beginning even to this time present. J. R. R. Tolkien, The Lord of the Rings 1 Was ist Approximationstheorie Bevor wir uns mit der Approximationstheorie und ihren wesentlichen Resultaten beschäftigen, ist es zuerst einmal sinnvoll, uns die wesentlichen Fragestellungen anzusehen, mit denen sich die Approximationstheorie beschäftigt, und zwar nicht nur “abstrakt” theoretisch, sondern vor allem anhand eines klassischen Beispiels, nämlich der (Nicht-)Konvergenz von Fourierreihen. 1.1 Grundsätzliche Fragen Untersuchungsobjekt der Approximationstheorie ist die Darstellung “komplizierter” Objekte (meist Funktionen) durch einfachere Objekte, die sich mit endlicher Information darstellen lassen. Die Standardsituation ist ein normierter Raum X mit Norm · und ein meist endlichdimensionaler Teilraum P ⊂ X, dessen Elemente die “einfachen” Funktionen sind. Beispiel 1.1 Die beiden gebräuchlichsten Fälle von Approximationsräumen sind 1. X = C [a, b], der Vektorraum aller stetigen Funktionen f : [a, b] → R mit der Norm f = f∞ = max |f(x)| , f ∈ C[a, b], x∈[a,b] und P = Πn, der (n + 1)–dimensionale Vektorraum aller algebraischen Polynome vom Grad ≤ n. 2. X = C(T) der Vektorraum aller stetigen, 2π–periodischen Funktionen und P = Pn = span {1, sin x, cos x, . . . , sin nx, cos nx} der (2n + 1)–dimensionale Vektorraum der trigonometrischen Polynome vom Grad ≤ n. Die Fragen, mit denen sich die Approximationstheorie beschäftigt, können nun folgendermaßen formuliert werden: 3
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Seite 21 und 22: 2.2 Der Satz von Stone 19 Satz 2.7
Seite 23 und 24: 2.2 Der Satz von Stone 21 und werde
Seite 25 und 26: 2.3 Der Satz von Bishop 23 Satz 2.1
Seite 27 und 28: 2.4 Müntz-Sätze 25 und da f −
Seite 29 und 30: 2.4 Müntz-Sätze 27 “·” das k
Seite 31 und 32: 2.4 Müntz-Sätze 29 Übung 2.7 Zei
Seite 33 und 34: 2.4 Müntz-Sätze 31 schreiben kön
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Seite 37 und 38: 2.4 Müntz-Sätze 35 2. limj→∞
Seite 39 und 40: 3.1 Approximation durch lineare Rä
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Seite 43 und 44: 3.2 Das Kolmogoroff-Kriterium und e
Seite 51 und 52: 3.3 Haar-Räume und Alternanten 49
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3.3 Haar-Räume und Alternanten 53
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3.4 Der Remez-Algorithmus 59 φ ∗
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3.4 Der Remez-Algorithmus 61 Dieses
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3.4 Der Remez-Algorithmus 63 Was al
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3.4 Der Remez-Algorithmus 65 muß y
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Bisweilen erweist sich das wahre Wi
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4.2 Simultanapproximation 69 was pe
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4.2 Simultanapproximation 71 also i
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4.3 Shape preservation 73 Satz 4.8
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4.4 Der Preis: Saturation 75 Übung
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4.4 Der Preis: Saturation 77 Satz 2
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4.4 Der Preis: Saturation 79 Lemma
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4.4 Der Preis: Saturation 81 zur Ko
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4.5 Multivariate Bernsteinpolynome
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5.1 Ein Satz von Bernstein 93 Bemer
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5.1 Ein Satz von Bernstein 95 Bewei
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5.3 Trigonometrische Polynome II: J
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5.3 Trigonometrische Polynome II: J
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5.4 Trigonometrische Polynome III:
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5.4 Trigonometrische Polynome III:
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5.5 Trigonometrische Polynome IV: D
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5.6 Trigonometrische Polynome V: Di
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5.7 Algebraische Polynome 109 1. Is
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5.7 Algebraische Polynome 111 Um nu
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5.7 Algebraische Polynome 113 Also
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6.1 Translationsinvariante Räume 1
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6.1 Translationsinvariante Räume 1
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6.2 Ein bißchen Fourieranalysis 11
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6.3 Polynomreproduktion und die Str
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6.4 Approximationsordnung 133 6.4 A
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6.4 Approximationsordnung 135 worau
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6.4 Approximationsordnung 137 Bemer
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7.1 Multiresolution Analysis 139 2.
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7.1 Multiresolution Analysis 141 Pr
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7.2 Orthogonale Skalierungsfunktion
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7.2 Orthogonale Skalierungsfunktion
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7.3 Wavelets für orthonormale Skal
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7.3 Wavelets für orthonormale Skal
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7.4 Approximation mit Wavelets 151
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8.1 Nomographie, Hilberts 13. Probl
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8.1 Nomographie, Hilberts 13. Probl
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8.2 Von Würfeln und Intervallen 16
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8.2 Von Würfeln und Intervallen 16
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8.3 Der Beweis 167 ist. Der Grund h
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8.3 Der Beweis 169 4. Die Intervall
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8.3 Der Beweis 171 ε > 0, so daß
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8.3 Der Beweis 173 zusammen, die du
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8.3 Der Beweis 175 Bemerkung 8.12 D
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8.4 Neuronale Netze 177 w = (w0, .
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8.4 Neuronale Netze 179 1 2 3 . . .
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LITERATUR 181 Uns ist in alten mær
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LITERATUR 183 [29] H. Heuser. Lehrb
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LITERATUR 185 [62] T. J. Ransford.
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Abschluß, 19 Abstand, 37 Algebra,
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INDEX 189 Identität approximative,
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INDEX 191 Stammfunktion, 155 Standa
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