Approximationstheorie

3.1 Approximation durch lineare Räume 37
3.1 Approximation durch lineare Räume
Hier können wir mal richtig allgemein sein: Es sei F ein komplexer Vektorraum 39 mit einer
Norm · und es seien φ1, . . . , φn ∈ F linear unabhängig. Wir bezeichnen wieder mit Φ den
Teilraum
Φ = span C {φj : j = 1, . . . , n} .
Definition 3.1 Zu f ∈ F bezeichnen wir mit
den Abstand von f zu Φ und mit
d (f, Φ) = inf f − φ
φ∈Φ
PΦ(f) := {φ ∗ ∈ Φ : f − φ ∗ = d (f, Φ)}
die Menge aller Bestapproximationen zu f in Φ. Die Menge PΦ bezeichnet man auch als metrische
Projektion von f auf Φ, die man auch als mengenwertige Abbildung PΦ : F → Φ
auffassen kann 40 .
Proposition 3.2 Für jedes f ∈ F ist PΦ eine konvexe Menge, das heißt,
φ, φ ′ ∈ PΦ(f) ⇐⇒ αφ + (1 − α) φ ′ ∈ PΦ(f), α ∈ [0, 1].
Insbesondere ist also entweder 41 #PΦ(f) = 1 oder #PΦ(f) = ∞.
Beweis: Seien φ, φ ′ ∈ PΦ(f) und α ∈ [0, 1]. Dann ist
d (f, Φ) ≤ f − (αφ + (1 − α)φ ′ ) = (α + (1 − α)) f − (αφ + (1 − α)φ ′ )
≤ α f − φ
=d(f,Φ)
+(1 − α) f − φ ′ = d (f, Φ) .
=d(f,Φ)
Der Rest ist trivial.
Der letzte Satz im obigen Beweis war nicht richtig. Was wir nämlich bisher unterschlagen
haben ist die Existenz einer Bestapproximation, oder, anders gesagt, daß PΦ(f) = ∅ für alle
f ∈ F .
Satz 3.3 Zu jedem f ∈ F gibt es mindestens eine Bestapproximation φ ∗ ∈ Φ, das heißt,
PΦ(f) = ∅, f ∈ F .
39 Also ein Vektorraum über C.
40 Und “Projektion” bedeutet nun gerade nichts anderes als, daß die Bestapproximation an eine Bestapproximation
die Bestapproximation selbst ist, oder eben, daß für f ∈ Φ immer PΦf = f = {f} gilt.
41 Daß beides gleichzeitig unmöglich ist, ist ja wohl klar.