Approximationstheorie
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36 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN<br />
Denkrunen lerne,<br />
soll der Degen keiner<br />
deinen Verstand bestehn!<br />
Die Edda, “Die Runenlehren”<br />
Approximation in linearen<br />
Räumen 3<br />
In diesem Kapitel befassen wir uns jetzt mal mit ein bißchen Approximations“theorie”, genauer,<br />
mit der Frage nach Existenz, Eindeutigkeit, Charakterisierung und Bestimmung der Bestapproximation<br />
in einem endlichdimensionalen (Funktionen-) Raum. Die Situation ist hierbei<br />
immer die folgende: Wir approximieren Funktionen in einem normierten linearen Raum, später<br />
natürlich vor allem die stetigen Funktionen 38 C(X) mit der Norm · ∞ , durch Elemente eines<br />
endlichdimensionalen linearen Teilraums. Typische Beispiele für lineare Approximation in<br />
C(X) sind<br />
• algebraische Polynome,<br />
• trigonometrische Polynome,<br />
typische Beispiele für nichtlineare Approximation (auch so was gibt es) sind<br />
• rationale Funktionenräume der Form<br />
<br />
Πn,m := f = p<br />
q : p ∈ Πn,<br />
<br />
q ∈ Πm , n, m ∈ N0,<br />
• n–Term–Approximation, wobei man für N ∈ N0 oder N = ∞ mit dem Raum<br />
<br />
N<br />
<br />
Fn(Φ) := aj φj : #{j : aj = 0} ≤ n , Φ = {φ1, . . . , φN} ,<br />
j=1<br />
approximiert. Solche Räume tauchen bei der Waveletapproximation, beispielsweise beim<br />
Entrauschen von Signalen, der Kantendetektion oder der Bildkompression auf.<br />
Übung 3.1 Zeigen Sie, daß Πn,m und Fn(Φ) keine Vektorräume sind. ♦<br />
38 Hierbei darf X zuerst mal ein kompakter Hausdorffraum sein – allerdings immer mit unseren zwei “Musterbeispielen”<br />
X = I und X = T im Hinterkopf! Und wir werden später sehen, daß dies oftmals die einzige<br />
Möglichkeit ist.