Approximationstheorie

36 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
Denkrunen lerne,
soll der Degen keiner
deinen Verstand bestehn!
Die Edda, “Die Runenlehren”
Approximation in linearen
Räumen 3
In diesem Kapitel befassen wir uns jetzt mal mit ein bißchen Approximations“theorie”, genauer,
mit der Frage nach Existenz, Eindeutigkeit, Charakterisierung und Bestimmung der Bestapproximation
in einem endlichdimensionalen (Funktionen-) Raum. Die Situation ist hierbei
immer die folgende: Wir approximieren Funktionen in einem normierten linearen Raum, später
natürlich vor allem die stetigen Funktionen 38 C(X) mit der Norm · ∞ , durch Elemente eines
endlichdimensionalen linearen Teilraums. Typische Beispiele für lineare Approximation in
C(X) sind
• algebraische Polynome,
• trigonometrische Polynome,
typische Beispiele für nichtlineare Approximation (auch so was gibt es) sind
• rationale Funktionenräume der Form
Πn,m := f = p
q : p ∈ Πn,
q ∈ Πm , n, m ∈ N0,
• n–Term–Approximation, wobei man für N ∈ N0 oder N = ∞ mit dem Raum
N
Fn(Φ) := aj φj : #{j : aj = 0} ≤ n , Φ = {φ1, . . . , φN} ,
j=1
approximiert. Solche Räume tauchen bei der Waveletapproximation, beispielsweise beim
Entrauschen von Signalen, der Kantendetektion oder der Bildkompression auf.
Übung 3.1 Zeigen Sie, daß Πn,m und Fn(Φ) keine Vektorräume sind. ♦
38 Hierbei darf X zuerst mal ein kompakter Hausdorffraum sein – allerdings immer mit unseren zwei “Musterbeispielen”
X = I und X = T im Hinterkopf! Und wir werden später sehen, daß dies oftmals die einzige
Möglichkeit ist.