Approximationstheorie

2.4 Müntz–Sätze 35
2. limj→∞ αj = ∞. In diesem Fall schreiben wir das Produkt in (2.26) als
N
j=0
2 αj−q
αj
αj+q+1
αj
N 1 −
2 =
j=0
q
2 αj
1 + q+1
2 .
αj
Für hinreichend großes j sind alle Terme im Zähler kleiner als 1 und somit ist das Zählerprodukt
N
1 − q
j=0
zumindest unabhängig von N beschränkt. Wählen wir M so, daß αj > 0, j > M, dann
ist
N
N
q + 1
1 + ≥ 1 + (q + 1)
1
j=M
αj
αj
αj
j=M
und nachdem diese Summe und damit auch das Nennerprodukt divergiert, folgt ebenfalls
(2.26).
Als “Bonus” sehen wir uns schließlich noch an, warum (2.14) auch notwendig für die Dichtheit
ist. Wäre nämlich (2.14) verletzt, dann müsste auf jeden Fall limj→∞ αj = ∞ sein, aber eben 37
∞
1
αj
j=0
< ∞ =⇒
∞
j=0
1
α p
j
< ∞, p ≥ 1.
Nun konvergieren aber die Zähler- und Nennerprodukte für jedes q ∈ α aus der vorherigen
Überlegung gegen einen strikt positiven Wert, und das heißt aber, daß
d2 (x q , Π(α)) > 0.
Und mindestens ein solches q ∈ N muß es nun schon geben, denn sonst wäre die Reihe 1
αj
ja schließlich divergent.
Lemma 2.27 Für aj ∈ (0, 1), j ∈ N, gilt
∞
(1 − aj) > 0 ⇔
j=1
∞
aj = ∞.
37 Die Betragsstriche aus (2.14) können wir weglassen, denn die Konvergenz entscheidet sich ja jetzt “im Posi-
tiven”, schließlich sind fast alle αj > 0.
j=1