Approximationstheorie
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34 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN<br />
und entsprechendes gilt für G (xα0 αN , . . . , x ), so daß wir nun endlich Lemma 2.24 anwenden<br />
können, und zwar mit a = b = q + 1<br />
2 , α0 + 1<br />
2 , . . . , αN + 1<br />
<br />
im Zähler bzw. a = b =<br />
2<br />
α0 + 1<br />
2 , . . . , αN + 1<br />
<br />
und so ist<br />
2<br />
d 2 N = g (xq , x α0 , . . . , x αN )<br />
=<br />
=<br />
g (xα0, . . . , xαN )<br />
N<br />
<br />
αj +<br />
j=0<br />
1<br />
<br />
1<br />
− q − αj +<br />
2 2<br />
1<br />
<br />
1<br />
− q −<br />
2 2<br />
<br />
q + 1<br />
<br />
1 N<br />
<br />
+ q + αj +<br />
2 2<br />
1<br />
<br />
1<br />
+ q + αj +<br />
2 2<br />
1<br />
<br />
1<br />
+ q +<br />
2 2<br />
1<br />
2q + 1<br />
j=0<br />
N<br />
(αj − q) 2<br />
j=0<br />
N<br />
(αj + q + 1) 2<br />
,<br />
j=0<br />
was (2.24) liefert. <br />
Das war’s dann auch “schon” mit den Zutaten, es wird Zeit, den Beweis zu vervollständigen.<br />
Beweis von Satz 2.20: Wegen der Dichtheit36 der Polynome in C(I) (siehe Satz 2.2) und damit<br />
auch in L2(I), genügt es, zu zeigen, daß<br />
0 = lim<br />
N→∞<br />
min<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a0,...,aN ∈R xq N<br />
− ajx αj<br />
<br />
<br />
<br />
, q ∈ N0,<br />
oder, nach Lemma 2.25, daß<br />
lim<br />
N→∞<br />
j=1<br />
N<br />
<br />
αj − q<br />
αj + q + 1<br />
j=0<br />
2<br />
2<br />
= 0, q ∈ N0. (2.26)<br />
Wir beginnen damit, daß wir zeigen, daß die Bedingung (2.14) hinreichend für die Dichtheit ist.<br />
Dazu unterscheiden wir zwei Fälle:<br />
1. p := limj→∞ αj < ∞, d.h. (2.14) ist trivialerweise erfüllt. Da in diesem Fall<br />
<br />
αj <br />
− q <br />
<br />
αj<br />
+ q + 1<br />
=<br />
<br />
2q + 1<br />
<br />
<br />
1 − < 1 −<br />
αj + 1 + q<br />
<br />
>0<br />
für hinreichend großes j gilt, folgt (2.26) unmittelbar.<br />
36 Jeweils bezüglich der entsprechenden Norm.<br />
q + 1<br />
2<br />
p + q + 1 ,