Approximationstheorie

34 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN
und entsprechendes gilt für G (xα0 αN , . . . , x ), so daß wir nun endlich Lemma 2.24 anwenden
können, und zwar mit a = b = q + 1
2 , α0 + 1
2 , . . . , αN + 1
im Zähler bzw. a = b =
2
α0 + 1
2 , . . . , αN + 1
und so ist
2
d 2 N = g (xq , x α0 , . . . , x αN )
=
=
g (xα0, . . . , xαN )
N
αj +
j=0
1
1
− q − αj +
2 2
1
1
− q −
2 2
q + 1
1 N
+ q + αj +
2 2
1
1
+ q + αj +
2 2
1
1
+ q +
2 2
1
2q + 1
j=0
N
(αj − q) 2
j=0
N
(αj + q + 1) 2
,
j=0
was (2.24) liefert.
Das war’s dann auch “schon” mit den Zutaten, es wird Zeit, den Beweis zu vervollständigen.
Beweis von Satz 2.20: Wegen der Dichtheit36 der Polynome in C(I) (siehe Satz 2.2) und damit
auch in L2(I), genügt es, zu zeigen, daß
0 = lim
N→∞
min
a0,...,aN ∈R xq N
− ajx αj
, q ∈ N0,
oder, nach Lemma 2.25, daß
lim
N→∞
j=1
N
αj − q
αj + q + 1
j=0
2
2
= 0, q ∈ N0. (2.26)
Wir beginnen damit, daß wir zeigen, daß die Bedingung (2.14) hinreichend für die Dichtheit ist.
Dazu unterscheiden wir zwei Fälle:
1. p := limj→∞ αj < ∞, d.h. (2.14) ist trivialerweise erfüllt. Da in diesem Fall
αj
− q
αj
+ q + 1
=
2q + 1
1 − < 1 −
αj + 1 + q
>0
für hinreichend großes j gilt, folgt (2.26) unmittelbar.
36 Jeweils bezüglich der entsprechenden Norm.
q + 1
2
p + q + 1 ,