Approximationstheorie

2.4 Müntz–Sätze 33
und somit
cn
cn−1
= lim
bn→∞ lim
an→∞
an dn
dn−1
→1
an + bn
an
→1
n−1
j=1
an + bj
aj − an
→−1
n−1
j=1
aj + bn
bj − bn
→−1
= (−1) 2n−2 = 1,
und da c1 = 1 ist, folgt (2.22).
Übung 2.8 Der Grad einer rationalen Funktion f = p
q
deg f = deg p − deg q.
sei definiert als
Zeigen Sie, daß für rationale Funktionen f, g die von den Polynomen bekannten Gradaussagen
deg (f + g) ≤ max {deg f, deg g} und deg fg = deg f + deg g
gelten. ♦
Jetzt aber zurück zu unserem Müntz–Satz.
Lemma 2.25 Es sei α ⊂ R \ {0} eine monoton steigende Folge von Zahlen > − 1.
Dann ist für
N ∈ N0 und jedes q ∈ R, q > − 1
2
d 2 N := min
a0,...,aN ∈R
xq −
N
ajx αj
j=1
2
2
= 1
2q + 1
N
2 αj − q
. (2.24)
αj + q + 1
Bemerkung 2.26 Gleichung (2.24) zeigt, daß q = − 1 eine echte Grenze bei der Approxima-
2
tion darstellt und daß Approximation immer schwieriger wird, wenn q → − 1 geht. Das ist
2
aber nicht so verwunderlich, denn die Funktion f(x) = x−1/2 ist ja eben gerade nicht mehr
quadratintegrierbar, gehört also nicht mehr zu L2(I)!
Beweis von Lemma 2.25: Wir verwenden natürlich jetzt Lemma 2.22, genauer (2.18), denn
das liefert uns, daß
d 2 N = g (xq , xα0 αN , . . . , x )
g (xα0, . . . , xαN . (2.25)
)
Nun sind aber Gram–Matrizen von Polynomen eher einfacher Natur: Da
ist
〈x p , x q 1
〉 =
0
t p+q dt =
⎡
G (x q , x α0
⎢
αN ⎢
, . . . , x ) = ⎢
⎣
j=1
1
p + q + 1 tp+q+1 1
t=0 =
1
2q+1
1
q+α0+1
.
1
q+αN +1
1
p + q + 1 ,
1
q+α0+1 . . . 1
q+α0+1
1
2α0+1 . . . 1
α0+αN +1
.
. ..
1
1 . . . α0+αN +1 2αN +1
.
⎤
⎥
⎦
2