Approximationstheorie

32 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN
Beweis: Wir betrachten a1, . . . , an und b1, . . . , bn als Variable, dann ist dn = pn
eine rationale
qn
Funktion in diesen 2n Variablen mit Nenner34 qn =
n
j,k=1
(aj + bk) ,
denn qnDn ist eine Matrix, deren Einträge Polynome in den 2n Variablen sind. Da jeder Eintrag
von Dn Grad −1 hat (siehe Übung 2.8) hat nach der Leibnitz–Regel dn den Grad ≤ −n, also
hat das Zählerpolynom höchstens den Grad n 2 − n, da qn ja Grad n 2 hat.
Ist nun aj = ak für j = k, dann haben wir zwei identische Zeilen in Dn und damit ist dn = 0,
dasselbe gilt auch, wenn bj = bk für j = k. Damit hat also der Zähler pn von dn die Form
pn = cn
1≤j