Approximationstheorie

2.4 Müntz–Sätze 31
schreiben können. Lösen wir nun das lineare Gleichungssystem (2.21) mit Hilfe der Cramerschen
33 Regel, dann erhalten wir für die erste Komponente der Lösung, daß
d
1 =
2
〈f, φ1〉 . . . 〈f, φn〉
0 〈φ1, φ1〉 . . . 〈φ1, φn〉
.
. . ..
.
0 〈φ1, φ1〉 . . . 〈φ1, φn〉
〈f, f〉 〈f, φ1〉 . . . 〈f, φn〉
〈φ1, f〉 〈φ1, φ1〉 . . . 〈φ1, φn〉
.
. . ..
.
〈φ1, f〉 〈φ1, φ1〉 . . . 〈φ1, φn〉
= d 2 g (φ1, . . . , φn)
g (f, φ1, . . . , φn) ,
und das ist (2.18).
Bemerkung 2.23 Die Normalengleichungen (2.21) ermöglichen es uns, die Bestapproximation
bezüglich der L2–Norm durch “einfaches” Lösen eines linearen Gleichungssystems zu bestimmen
und diese Lösung liefert uns als netten Nebeneffekt auch noch die Qualität der Approximation
mit – schließlich müssen wir erst mal d 2 kennen, um die rechte Seite zu komplettieren, aber
dafür haben wir ja die Formel (2.18).
Für den Numeriker ist so eine Gram–Matrix übrigens nicht zu wild, denn sie ist symmetrisch
und positiv definit und dafür gibt es vergleichsweise gute und stabile Lösungsverfahren.
Um den Quotienten der Gram–Determinanten aus (2.18) in den Griff zu bekommen, ja
sogar explizit angeben zu können, verwendet man eine Determinantenformel, die auf Cauchy
zurückgeht.
Lemma 2.24 Seien a, b ⊂ R Zahlenfolgen und sei, für n ∈ N,
Dann ist
Dn =
1
aj + bk
⎡
⎢
: j, k = 1, . . . , n = ⎣
dn := det Dn =
1≤j