Approximationstheorie

30 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN
= 〈f, f〉 − 2
= f 2
2 −
= f 2
2 − 2
n
j=1
n
〈f, ψj〉〈f, ψj〉 +
j=1
〈f, ψj〉 2 ≤ f 2
2 −
n
aj 〈f, ψj〉 +
j=1
n
j,k=1
〈f, ψj〉〈f, ψk〉 〈ψj, ψk〉
n
〈f, ψj〉 2 +
j=1
δjk
n
(aj − 〈f, ψj〉) 2
j=1
n
a 2
j〈ψj, ψj〉 = f
−
j=1
n
j=1
aj ψj
weswegen die Bestapproximation gerade der Fall aj = 〈f, ψj〉, j = 1, . . . , n ist. Und das ist für
k = 1, . . . , n äquivalent zu
n
n
f − 〈f, ψj〉 ψj, ψk = 〈f, ψk〉 − 〈f, ψj〉〈ψj, ψk〉 = 〈f, ψk〉 − 〈f, ψk〉 = 0.
j=1
j=1
Für (2.18) sei φ ∗ = a1φ1 + · · · + anφn die 32 Bestapproximation von f in Φ; dann ist nach (2.17)
also
d 2 = d 2 2 (f, Φ) = f − φ ∗ 2
2 = 〈f − φ∗ , f − φ ∗ 〉 = 〈f, f − φ ∗ 〉 − 〈φ ∗ , f − φ ∗ 〉
d 2 = 〈f, f〉 −
2
2
,
=0
n
aj 〈f, φj〉. (2.19)
Schreiben wir außerdem (2.17) bezüglich der Basis φ1, . . . , φn, dann heißt dies, daß für j =
1, . . . , n
0 = 〈f − φ ∗ n
, φj〉 = 〈f, φj〉 − ak 〈φj, φk〉 (2.20)
In Matrixform liefern (2.19) und (2.20), die sogenannte Normalengleichungen
⎡
〈f, f〉
⎢ 〈φ1, f〉
⎢
⎣ .
〈f, φ1〉
〈φ1, φ1〉
.
. . .
. . .
. ..
⎤ ⎡ ⎤
〈f, φn〉 1
〈φ1, φn〉 ⎥ ⎢
⎥ ⎢ −a1
⎥
⎥ ⎢ ⎥
. ⎦ ⎣ . ⎦
〈φn, f〉 〈φn, φ1〉 . . . 〈φn, φn〉 −an
=
⎡
d
⎢
⎣
2
⎤
0.
⎥
⎦
0
,
die wir auch als
j=1
−an
k=1
⎡ ⎤
1
⎢ −a1
⎥
G (f, φ1, . . . , φn) ⎢ ⎥
⎣ . ⎦ =
⎡
⎢
⎣
32 Nach dem, was wir gerade bewiesen haben, ist es wirklich die Bestapproximation – sie ist eindeutig.
d2
0.
0
⎤
⎥
⎦
,
(2.21)