Approximationstheorie

2.4 Müntz–Sätze 29
Übung 2.7 Zeigen Sie: Π ist dicht in L2(I). ♦
Was bleibt, ist der Beweis von Satz 2.20, der aber auch nicht so schlimm ist. Außerdem lernen
wir dabei auch gleich ein paar der grundlegenden Ideen, die man bei der Bestapproximation im
quadratischen Mittel so verwendet, bei dem die Norm ja durch das innere Produkt
bestimmt ist.
〈f, g〉 :=
1
0
f(t)g(t) dt =⇒ f 2 = 〈f, f〉
Definition 2.21 Für Funktionen f1, . . . , fn ∈ L2(I) definieren wir die Gramsche31 Matrix
⎡
〈f1, f1〉
⎢
G (f1, . . . , fn) = [〈fj, fk〉 : j, k = 1, . . . , n] = ⎣ .
. . .
. ..
⎤
〈f1, fn〉
⎥
. ⎦ (2.16)
〈fn, f1〉 . . . 〈fn, fn〉
und die Gramsche Determinante
〈f1, f1〉
g (f1, . . . , fn) = det G (f1, . . . , fn) =
.
〈fn, f1〉
. . .
. ..
. . .
〈f1, fn〉
. .
〈fn, fn〉
Lemma 2.22 Seien φ1, . . . , φn ∈ L2(I) linear unabhängig und Φ := span R {φ1, . . . , φn}.
1. Für f ∈ L2(I) und φ ∗ ∈ Φ gilt
2. Für f ∈ L2(I) ist
f − φ ∗ 2 = min
φ∈Φ f − φ 2 ⇐⇒ 〈f − φ ∗ , Φ〉 = 0. (2.17)
d2 (f, Φ) = min
φ∈Φ f − φ 2 =
g (f, φ1, . . . , φn)
. (2.18)
g (φ1, . . . , φn)
Beweis: Beginnen wir mit (2.17). Sei f ∈ L2(I) und ψ1, . . . , ψn eine Orthonormalbasis von Φ.
Dann ist
n
2
n
n
f
− 〈f, ψj〉 ψj
= f − 〈f, ψj〉 ψj, f − 〈f, ψj〉 ψj
j=1
2
j=1
31 Jorgen Pedersen Gram, 1850–1916, dänischer Mathematiker, erarbeitete für die Versicherungsgesellschaft
“Hafnia” ein mathematisches Modell zur Forstverwaltung und gelangte über Fragen der Stochastik und Numerik
später auch zur Zahlentheorie.
j=1