Approximationstheorie
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28 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN<br />
Beweis von Satz 2.19: Wir betrachten, für N ∈ N0, einen Koeffizientenvektor a = [a0, . . . , aN] ∈<br />
RN+1 , sowie für x ∈ [0, 1] und n ∈ N0, den Ausdruck<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
xn N<br />
− ajx<br />
j=0<br />
αj<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
x<br />
<br />
= t<br />
n 0<br />
n−1 N n<br />
− aj t<br />
αj<br />
j=1<br />
αj−1<br />
<br />
<br />
<br />
dt<br />
<br />
≤ 1<br />
<br />
x <br />
<br />
<br />
n 0 tn−1 N n<br />
− aj t<br />
αj<br />
j=1<br />
αj−1<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
dt ≤ <br />
n 0 tn−1 N n<br />
− aj t<br />
αj<br />
j=0<br />
αj−1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dt<br />
≤ 1<br />
⎛<br />
<br />
1 <br />
⎝ <br />
<br />
n tn−1 N ajn<br />
− t αj−1<br />
⎞<br />
2 1/2<br />
<br />
<br />
dt⎠<br />
=:<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n tn−1 N<br />
− aj t αj−1<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
0<br />
j=0<br />
wobei wir beim letzten Schritt die Höldersche Ungleichung<br />
αj<br />
fg 1 ≤ f p g q ,<br />
1 1<br />
+<br />
p q<br />
mit g = 1 verwendet haben. Da diese Rechnung also besagt, daß<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
xn N<br />
− ajx αj<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
≤ <br />
n tn−1 N<br />
− aj t αj−1<br />
<br />
<br />
<br />
, aj = ajn<br />
, j = 0, . . . , N, (2.15)<br />
j=0<br />
j=0<br />
wäre die Dichtheit von Π (α − 1) in L2(I) hinreichend für die Dichtheit von Π(α) in C(I) –<br />
siehe auch Übung 2.7. Nun unterscheiden wir drei Fälle 30 :<br />
2<br />
= 1,<br />
1. limj→∞ αj = ∞. Es gibt einen Index N ∈ N, so daß αj > 2, j ≥ N, und somit ist<br />
∞<br />
j=1<br />
1<br />
|αj − 1| =<br />
N−1 1<br />
|αj − 1|<br />
j=1<br />
+<br />
∞<br />
j=N<br />
1<br />
|αj − 1|<br />
wir können also Satz 2.20 anwenden und erhalten Dichtheit.<br />
αj<br />
≥ 1<br />
2<br />
j=0<br />
∞<br />
1<br />
αj<br />
j=N<br />
= ∞,<br />
2. − 1<br />
2 < limj→∞ α −1<br />
1<br />
j . Hier ist die Folge noch nicht einmal eine Nullfolge, die Reihe<br />
|αj−1|<br />
divergiert also auf alle Fälle und wir können den Rest dem Satz 2.20 überlassen.<br />
3. −1 < limj→∞ α −1<br />
j<br />
1<br />
1<br />
≤ − j > − 2<br />
ist und nach Punkt 2. ist Π (cα) dicht in C(I). Nun ist aber, für beliebiges p ∈ Π(cα) und<br />
f ∈ q<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f − q ,<br />
2 . Es gibt eine Konstante 0 < c < 1, so daß limj→∞ cα −1<br />
f − p = max |f (x) − p (x)| = max<br />
x∈I x∈I |f (xc ) − p (x c )| =<br />
wobei q ∈ Π (α) – aber diese Reparametrisierung läßt den Abstand zwischen der Funktion<br />
und den “Polynomen” unverändert.<br />
30 Wobei wir eine eventuelles αj = 1 aus der Folge α streichen; für die Dichtheit ist das irrelevant und wir<br />
wollen ja nicht, daß die Reihen divergieren, nur weil wir dummerweise an irgendeiner Stelle durch 0 geteilt haben<br />
. . .<br />
2