Approximationstheorie

28 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN
Beweis von Satz 2.19: Wir betrachten, für N ∈ N0, einen Koeffizientenvektor a = [a0, . . . , aN] ∈
RN+1 , sowie für x ∈ [0, 1] und n ∈ N0, den Ausdruck
xn N
− ajx
j=0
αj
1
x
= t
n 0
n−1 N n
− aj t
αj
j=1
αj−1
dt
≤ 1
x
n 0 tn−1 N n
− aj t
αj
j=1
αj−1
1
1
dt ≤
n 0 tn−1 N n
− aj t
αj
j=0
αj−1
dt
≤ 1
⎛
1
⎝
n tn−1 N ajn
− t αj−1
⎞
2 1/2
dt⎠
=:
1
n tn−1 N
− aj t αj−1
,
0
j=0
wobei wir beim letzten Schritt die Höldersche Ungleichung
αj
fg 1 ≤ f p g q ,
1 1
+
p q
mit g = 1 verwendet haben. Da diese Rechnung also besagt, daß
xn N
− ajx αj
1
≤
n tn−1 N
− aj t αj−1
, aj = ajn
, j = 0, . . . , N, (2.15)
j=0
j=0
wäre die Dichtheit von Π (α − 1) in L2(I) hinreichend für die Dichtheit von Π(α) in C(I) –
siehe auch Übung 2.7. Nun unterscheiden wir drei Fälle 30 :
2
= 1,
1. limj→∞ αj = ∞. Es gibt einen Index N ∈ N, so daß αj > 2, j ≥ N, und somit ist
∞
j=1
1
|αj − 1| =
N−1 1
|αj − 1|
j=1
+
∞
j=N
1
|αj − 1|
wir können also Satz 2.20 anwenden und erhalten Dichtheit.
αj
≥ 1
2
j=0
∞
1
αj
j=N
= ∞,
2. − 1
2 < limj→∞ α −1
1
j . Hier ist die Folge noch nicht einmal eine Nullfolge, die Reihe
|αj−1|
divergiert also auf alle Fälle und wir können den Rest dem Satz 2.20 überlassen.
3. −1 < limj→∞ α −1
j
1
1
≤ − j > − 2
ist und nach Punkt 2. ist Π (cα) dicht in C(I). Nun ist aber, für beliebiges p ∈ Π(cα) und
f ∈ q
f − q ,
2 . Es gibt eine Konstante 0 < c < 1, so daß limj→∞ cα −1
f − p = max |f (x) − p (x)| = max
x∈I x∈I |f (xc ) − p (x c )| =
wobei q ∈ Π (α) – aber diese Reparametrisierung läßt den Abstand zwischen der Funktion
und den “Polynomen” unverändert.
30 Wobei wir eine eventuelles αj = 1 aus der Folge α streichen; für die Dichtheit ist das irrelevant und wir
wollen ja nicht, daß die Reihen divergieren, nur weil wir dummerweise an irgendeiner Stelle durch 0 geteilt haben
. . .
2