Approximationstheorie
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INHALTSVERZEICHNIS 1<br />
Inhaltsverzeichnis 0<br />
1 Was ist <strong>Approximationstheorie</strong> 3<br />
1.1 Grundsätzliche Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.2 Ein historisches Beispiel: Summation von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.4 Approximation von Funktionen und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2 Polynomapproximation – Dichtheitsaussagen 15<br />
2.1 Der Satz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.2 Der Satz von Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.3 Der Satz von Bishop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
2.4 Müntz–Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3 Approximation in linearen Räumen 36<br />
3.1 Approximation durch lineare Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
3.2 Das Kolmogoroff–Kriterium und extremale Signaturen . . . . . . . . . . . . . 41<br />
3.3 Haar–Räume und Alternanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
3.4 Der Remez–Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
4 Mehr über Bernsteinpolynome 67<br />
4.1 Ableitungen von Bernsteinpolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
4.2 Simultanapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
4.3 Shape preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
4.4 Der Preis: Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
4.5 Multivariate Bernsteinpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
5 Approximationsordnung 92<br />
5.1 Ein Satz von Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
5.2 Trigonometrische Polynome I: Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
5.3 Trigonometrische Polynome II: Jackson–Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
5.4 Trigonometrische Polynome III: Bernstein–Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
5.5 Trigonometrische Polynome IV: Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . 104<br />
5.6 Trigonometrische Polynome V: Die Zygmund–Klasse . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
5.7 Algebraische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
6 Approximation mit translationsinvarianten Räumen 114<br />
6.1 Translationsinvariante Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
6.2 Ein bißchen Fourieranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
6.3 Polynomreproduktion und die Strang–Fix–Bedingungen . . . . . . . . . . . . 127
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