Approximationstheorie

2.4 Müntz–Sätze 27
“·” das komponentenweise Produkt zweier Vektoren bezeichnet? Die Antwort ist übrigens
“ja”.
Übung 2.6 Zeigen Sie: Ist P ⊂ Π ein endlichdimensionaler Raum von Polynomen, dann gibt
es ein ε > 0 und eine stetige Funktion f ∈ C(I), so daß
inf f − p > ε.
p∈P
Hinweis: Zeigen und verwenden Sie, daß P ⊆ Πn mit n = max {deg p : p ∈ P } ♦
Das Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis des folgenden Resultats, das uns Auskunft über die
Dichtheit des (Vektor–) Raums Π(α) in Abhängkeit von α gibt.
Satz 2.19 (Müntz–Satz für C[0, 1])
Sei α eine strikt steigende Folge von nichtnegativen Zahlen. Dann ist Π(α) dicht in C[0, 1],
wenn α0 = 0 und
∞ 1
= ∞. (2.13)
αj
j=1
Der Beweis dieser Aussage, der im wesentlichen aus [17] stammt, verwendet erstaunlicherweise
einen anderen Müntz–Satz, der eine Dichtheitsaussage der bezüglich der Norm
1
f2 := |f(x)| 2 dx
angibt, die natürlich für jede stetige Funktion f ∈ C(I) wohldefiniert ist, schließlich ist f 2 ≤
f ∞ . Diese Aussage lautet wie folgt.
0
Satz 2.20 (Müntz–Satz für L2[0, 1])
Sei α ⊂ R \ {0} eine strikt steigende Folge von Zahlen > − 1.
Dann ist Π(α) genau dann dicht
2
in L2(I), wenn
∞ 1
= ∞. (2.14)
|αj|
j=1
Zuerst sehen wir uns an, wie wir aus der Dichtheit in L2(I) die Dichtheit in C(I) ableiten
können – da C(I) seinerseits bezüglich der 2–Norm in L2(I) dicht ist, könnten wir Satz 2.20 ja
auch als Dichtheit von Π(α) in C(I) bezüglich der 2–Norm formulieren. Schematisch sieht das
wie folgt aus:
Π(α) ⊂ C(I) ⊂ L2(I)
Π(α) · 2
Π(α) · ∞
= C(I) ·2 Satz 2.20
= C(I) · ∞
Satz 2.19
= L2(I) · 2