Approximationstheorie

26 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN
Die Frage, die man sich nun stellt, ist natürlich, für welche Folgen p der Raum Π(α) dicht
in C(I) ist. Dieses Problem wurde 1912 zuerst von Bernstein [7] behandelt 27 und 1914 von
Müntz 28 [57] vollständig gelöst, weswegen man Aussagen dieser Art Müntz–Sätze bezeichnet.
Sehen wir uns das erst einmal anhand einiger Beispiele an.
Beispiel 2.18 1. Ist α = N0, das heißt, ist αj = j, j ∈ N0, dann ist Π(α) = Π und dafür
kennen wir ja inzwischen genug Dichtheitsaussagen.
2. Ist α = 1, also αj = 1, j ∈ N0, dann brauchen wir natürlich nicht mit Dichtheit zu
rechnen; generell ist klar, daß die Folge α nicht nur endlich viele verschiedene Werte
enthalten darf, weil wir dann immer nur einen endlichdimensionalen Raum zur Verfügung
haben und der reicht einfach nicht aus.
3. Ist α = 2N0, dann liegt Π(α) ⊂ Π dicht in C[0, 1], aber nicht in C[−1, 1] – das Intervall,
auf dem man approximieren will, spielt also eine bedeutende Rolle. Der Grund ist einfach:
Π(α) ist eine Algebra, die in [0, 1] punktetrennend ist, denn jedes p ∈ Π(α) kann man
als q (x 2 ) schreiben und Π ist ja bekanntlich punktetrennend. Sind also x, x ′ ∈ [0, 1],
dann wählt man ein Polynom q ∈ Π, so daß q ( √ x) = q √ x ′ und das Polynom p(x) =
q (x 2 ) ∈ Π(α) erfüllt dann p (x) = p (x ′ ). Damit folgt das positive Resultat aus dem Satz
von Stone, Satz 2.7.
Daß Π(α) auf [−1, 1] nicht punktetrennend ist, folgt aus der Tatsache, daß alle Polynome
q ∈ Π(a) gerade sind, daß also q(x) = q(−x) und damit kann keine Funktion f ∈
C[−1, 1] mit f(−ξ) = f(ξ) für ein x ∈ [−1, 1] beliebig gut durch Π(α) approximiert
werden, siehe auch Bemerkung 2.8.
4. Natürlich müssen wir es nicht unbedingt mit Polynomen zu tun haben. Wählt man α =
βN0, β ∈ R+, dann hat Π(α) nichts mehr mit Polynomen zu tun, wenn β ∈ N. Trotzdem
haben wir sofort wieder Dichtheit, weil wir nun jedes q ∈ Π(α) als q(x) = p x β
schreiben können.
5. Man kann aber auch Nicht–Algebren von Polynomen betrachten: Wählt man α als Folge
aller Primzahlen 29 , dann ist Π(α) natürlich keine Algebra mehr und Bishop–Stone helfen
uns gar nichts mehr. Trotzdem werden die Müntz–Sätze uns verraten, daß diese Menge
dicht in C(X) liegt.
6. Treiben wir’s noch einen Schritt weiter: Wir können α als Folge der Primzahlen und β als
beliebige Folge mit Werten in 1
2 , 1 wählen. Liegt dann Π(α · β) dicht in C[0, 1], wobei
27 Originalton [57]: “Das in Frage stehende allgemeine Problem ist in einer Preisschrift von Herrn S. Bernstein,
welche viele andere Probleme der Approximation durch Polynome zu einer vollen Erledigung bringt, insofern
unvollständig beantwortet worden, als dort teils nur notwendige, teils nur hinreichende Kriterien [. . .] angegeben
werden [. . .]
28 Herman (Chaim) Müntz, 1884–1956, Studium der Mathematik und Philosophie (veröffentlichte auch philosophische
Bücher im Stil von Nietzsche) war als (Privat-) Lehrer, aber auch als Assistent von Einstein tätig, bevor
er eine Professur in Leningrad erhielt. Zu Beginn des zweiten Weltkriegs Emigration nach Schweden, wo er bis zu
seinem Tod lebte.
29 Mit α0 = 1 aus offensichtlichen Gründen.