Approximationstheorie
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26 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN<br />
Die Frage, die man sich nun stellt, ist natürlich, für welche Folgen p der Raum Π(α) dicht<br />
in C(I) ist. Dieses Problem wurde 1912 zuerst von Bernstein [7] behandelt 27 und 1914 von<br />
Müntz 28 [57] vollständig gelöst, weswegen man Aussagen dieser Art Müntz–Sätze bezeichnet.<br />
Sehen wir uns das erst einmal anhand einiger Beispiele an.<br />
Beispiel 2.18 1. Ist α = N0, das heißt, ist αj = j, j ∈ N0, dann ist Π(α) = Π und dafür<br />
kennen wir ja inzwischen genug Dichtheitsaussagen.<br />
2. Ist α = 1, also αj = 1, j ∈ N0, dann brauchen wir natürlich nicht mit Dichtheit zu<br />
rechnen; generell ist klar, daß die Folge α nicht nur endlich viele verschiedene Werte<br />
enthalten darf, weil wir dann immer nur einen endlichdimensionalen Raum zur Verfügung<br />
haben und der reicht einfach nicht aus.<br />
3. Ist α = 2N0, dann liegt Π(α) ⊂ Π dicht in C[0, 1], aber nicht in C[−1, 1] – das Intervall,<br />
auf dem man approximieren will, spielt also eine bedeutende Rolle. Der Grund ist einfach:<br />
Π(α) ist eine Algebra, die in [0, 1] punktetrennend ist, denn jedes p ∈ Π(α) kann man<br />
als q (x 2 ) schreiben und Π ist ja bekanntlich punktetrennend. Sind also x, x ′ ∈ [0, 1],<br />
dann wählt man ein Polynom q ∈ Π, so daß q ( √ x) = q √ x ′ und das Polynom p(x) =<br />
q (x 2 ) ∈ Π(α) erfüllt dann p (x) = p (x ′ ). Damit folgt das positive Resultat aus dem Satz<br />
von Stone, Satz 2.7.<br />
Daß Π(α) auf [−1, 1] nicht punktetrennend ist, folgt aus der Tatsache, daß alle Polynome<br />
q ∈ Π(a) gerade sind, daß also q(x) = q(−x) und damit kann keine Funktion f ∈<br />
C[−1, 1] mit f(−ξ) = f(ξ) für ein x ∈ [−1, 1] beliebig gut durch Π(α) approximiert<br />
werden, siehe auch Bemerkung 2.8.<br />
4. Natürlich müssen wir es nicht unbedingt mit Polynomen zu tun haben. Wählt man α =<br />
βN0, β ∈ R+, dann hat Π(α) nichts mehr mit Polynomen zu tun, wenn β ∈ N. Trotzdem<br />
haben wir sofort wieder Dichtheit, weil wir nun jedes q ∈ Π(α) als q(x) = p x β<br />
schreiben können.<br />
5. Man kann aber auch Nicht–Algebren von Polynomen betrachten: Wählt man α als Folge<br />
aller Primzahlen 29 , dann ist Π(α) natürlich keine Algebra mehr und Bishop–Stone helfen<br />
uns gar nichts mehr. Trotzdem werden die Müntz–Sätze uns verraten, daß diese Menge<br />
dicht in C(X) liegt.<br />
6. Treiben wir’s noch einen Schritt weiter: Wir können α als Folge der Primzahlen und β als<br />
beliebige Folge mit Werten in 1<br />
2 , 1 wählen. Liegt dann Π(α · β) dicht in C[0, 1], wobei<br />
27 Originalton [57]: “Das in Frage stehende allgemeine Problem ist in einer Preisschrift von Herrn S. Bernstein,<br />
welche viele andere Probleme der Approximation durch Polynome zu einer vollen Erledigung bringt, insofern<br />
unvollständig beantwortet worden, als dort teils nur notwendige, teils nur hinreichende Kriterien [. . .] angegeben<br />
werden [. . .]<br />
28 Herman (Chaim) Müntz, 1884–1956, Studium der Mathematik und Philosophie (veröffentlichte auch philosophische<br />
Bücher im Stil von Nietzsche) war als (Privat-) Lehrer, aber auch als Assistent von Einstein tätig, bevor<br />
er eine Professur in Leningrad erhielt. Zu Beginn des zweiten Weltkriegs Emigration nach Schweden, wo er bis zu<br />
seinem Tod lebte.<br />
29 Mit α0 = 1 aus offensichtlichen Gründen.