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24 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN weswegen FC ∈ F und damit insbesondere = ∅ ist – das liefert uns dann auch (2.8). Somit hat also jede Kette C , also jede bezüglich “⊂” total geordnete Menge, ein minimales Element, nämlich FC , und nach dem Zornschen Lemma muß es daher ein minimales Element F ∗ = 0 in F geben, so daß für jede echte Teilmenge Y ⊂ F ∗ die Ungleichung dY (f, A ) < dF ∗ (f, A ) = d (f, A ) (2.10) gilt. Dieses F ∗ ist nun der Kandidat für unser Y aus dem Satz; was wir also noch tun müssen, ist zu beweisen, daß F ∗ antisymmetrisch ist, was wir per Widerspruch tun wollen. Wäre nämlich F ∗ nicht antisymmetrisch, dann gibt es ein a ∗ ∈ A , das auf F ∗ nicht konstant ist, so daß also a− := min x∈F ∗ a∗ (x) < max x∈F ∗ a∗ (x) =: a+. Indem wir, wenn nötig, a ∗ durch (a ∗ − a−) / (a+ − a−) ersetzen, können wir also annehmen, daß a− = 0 und a+ = 1 ist. Nun definieren wir die beiden kompakten Mengen Y− = x ∈ F ∗ : 0 ≤ a ∗ (x) ≤ 2 3 und Y+ = x ∈ F ∗ : 1 3 ≤ a∗ (x) ≤ 1 die die Eigenschaft Y−, Y+ ⊂ F ∗ haben und, wegen der Minimalität von F ∗ , gibt es Funktionen g−, g+ ∈ A , so daß f − g−Y− < d (f, A ) und f − g+ < d (f, A ) Y+ Diese Funktionen müssen nun geeignet kombiniert werden, und dazu definieren wir, für n ∈ N0, die Funktionen φn(x) := (1 − x n ) 2n , x ∈ [0, 1], die die beiden Ungleichungen 0 ≤ x < 1 3 erfüllen. Setzen wir nun und =⇒ φn(x) ≥ 1 − 2 n x n ≥ 1 − n 2 3 2 3 < x ≤ 1 =⇒ φn(x) ≤ (1 + x n ) −2n ≤ 1 2n ≤ xn gn := φn (a ∗ ) g− + (1 − φn (a ∗ )) g+, n ∈ N, g ∗ = lim n→∞ gn, mit gn, g ∗ ∈ A wegen der Abgeschlossenheit von A , dann ist lim n→∞ gn − g− = lim Y− n→∞ gn − g+ = 0 Y+ n 3 4 , (2.11) (2.12)
2.4 Müntz–Sätze 25 und da f − gnF ∗ ≤ f − gnX le max f − gnX\Y+ , f − gnX\Y− , f − gn Y−∩Y+ ≤ max f − g− + gn − g− , f − g+ + gn − g+ , X\Y+ X\Y+ X\Y− X\Y− ≤f−g−Y− f − gnY−∩Y+ →0 ≤f−g+Y+ →0 ist, folgt n o
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Seite 41 und 42: 3.1 Approximation durch lineare Rä
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4.4 Der Preis: Saturation 75 Übung
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4.4 Der Preis: Saturation 77 Satz 2
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4.4 Der Preis: Saturation 79 Lemma
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4.4 Der Preis: Saturation 81 zur Ko
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4.5 Multivariate Bernsteinpolynome
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5.1 Ein Satz von Bernstein 93 Bemer
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5.1 Ein Satz von Bernstein 95 Bewei
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5.3 Trigonometrische Polynome II: J
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5.3 Trigonometrische Polynome II: J
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5.4 Trigonometrische Polynome III:
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5.4 Trigonometrische Polynome III:
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5.5 Trigonometrische Polynome IV: D
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5.6 Trigonometrische Polynome V: Di
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5.7 Algebraische Polynome 109 1. Is
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5.7 Algebraische Polynome 111 Um nu
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5.7 Algebraische Polynome 113 Also
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6.1 Translationsinvariante Räume 1
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6.1 Translationsinvariante Räume 1
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6.2 Ein bißchen Fourieranalysis 11
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6.3 Polynomreproduktion und die Str
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6.4 Approximationsordnung 133 6.4 A
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6.4 Approximationsordnung 135 worau
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6.4 Approximationsordnung 137 Bemer
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7.1 Multiresolution Analysis 139 2.
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7.1 Multiresolution Analysis 141 Pr
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7.2 Orthogonale Skalierungsfunktion
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7.2 Orthogonale Skalierungsfunktion
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7.3 Wavelets für orthonormale Skal
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7.3 Wavelets für orthonormale Skal
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7.4 Approximation mit Wavelets 151
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8.1 Nomographie, Hilberts 13. Probl
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8.1 Nomographie, Hilberts 13. Probl
Seite 165 und 166:
8.2 Von Würfeln und Intervallen 16
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8.2 Von Würfeln und Intervallen 16
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8.3 Der Beweis 167 ist. Der Grund h
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8.3 Der Beweis 169 4. Die Intervall
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8.3 Der Beweis 171 ε > 0, so daß
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8.3 Der Beweis 173 zusammen, die du
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8.3 Der Beweis 175 Bemerkung 8.12 D
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8.4 Neuronale Netze 177 w = (w0, .
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8.4 Neuronale Netze 179 1 2 3 . . .
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LITERATUR 181 Uns ist in alten mær
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LITERATUR 183 [29] H. Heuser. Lehrb
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LITERATUR 185 [62] T. J. Ransford.
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Abschluß, 19 Abstand, 37 Algebra,
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INDEX 191 Stammfunktion, 155 Standa
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