Approximationstheorie

24 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN
weswegen FC ∈ F und damit insbesondere = ∅ ist – das liefert uns dann auch (2.8). Somit
hat also jede Kette C , also jede bezüglich “⊂” total geordnete Menge, ein minimales Element,
nämlich FC , und nach dem Zornschen Lemma muß es daher ein minimales Element F ∗ = 0 in
F geben, so daß für jede echte Teilmenge Y ⊂ F ∗ die Ungleichung
dY (f, A ) < dF ∗ (f, A ) = d (f, A ) (2.10)
gilt.
Dieses F ∗ ist nun der Kandidat für unser Y aus dem Satz; was wir also noch tun müssen, ist zu
beweisen, daß F ∗ antisymmetrisch ist, was wir per Widerspruch tun wollen. Wäre nämlich F ∗
nicht antisymmetrisch, dann gibt es ein a ∗ ∈ A , das auf F ∗ nicht konstant ist, so daß also
a− := min
x∈F ∗ a∗ (x) < max
x∈F ∗ a∗ (x) =: a+.
Indem wir, wenn nötig, a ∗ durch (a ∗ − a−) / (a+ − a−) ersetzen, können wir also annehmen,
daß a− = 0 und a+ = 1 ist. Nun definieren wir die beiden kompakten Mengen
Y− = x ∈ F ∗ : 0 ≤ a ∗ (x) ≤ 2
3
und Y+ =
x ∈ F ∗ : 1
3 ≤ a∗ (x) ≤ 1
die die Eigenschaft Y−, Y+ ⊂ F ∗ haben und, wegen der Minimalität von F ∗ , gibt es Funktionen
g−, g+ ∈ A , so daß
f − g−Y− < d (f, A ) und f − g+ < d (f, A )
Y+
Diese Funktionen müssen nun geeignet kombiniert werden, und dazu definieren wir, für n ∈ N0,
die Funktionen
φn(x) := (1 − x n ) 2n
, x ∈ [0, 1],
die die beiden Ungleichungen
0 ≤ x < 1
3
erfüllen. Setzen wir nun
und
=⇒ φn(x) ≥ 1 − 2 n x n ≥ 1 −
n 2
3
2
3 < x ≤ 1 =⇒ φn(x) ≤ (1 + x n ) −2n
≤ 1
2n ≤
xn gn := φn (a ∗ ) g− + (1 − φn (a ∗ )) g+, n ∈ N,
g ∗ = lim
n→∞ gn,
mit gn, g ∗ ∈ A wegen der Abgeschlossenheit von A , dann ist
lim
n→∞ gn − g− = lim
Y− n→∞ gn − g+ = 0
Y+
n 3
4
,
(2.11)
(2.12)