Approximationstheorie

2.3 Der Satz von Bishop 23
Satz 2.16 Zu jedem f ∈ C(X) gibt es eine abgeschlossene A –antisymmetrische Teilmenge
Y ⊂ X, so daß
dY (f, A ) = dX (f, A ) =: d (f, A ) .
Tatsächlich ist diese Aussage eine sehr interessante qualitative Beschreibung des Approximationsverhaltens
durch eine Algebra A : Wir wissen jetzt also, daß der Abstand von f ∈ C(X)
zu der Algebra A , was nichts anderes als der Abstand von f zu A ist, immer auf einer A –
antisymmetrischen Menge gemessen werden kann und die ist vom “individuellen” a ∈ A
unabhängig. Und selbstverständlich folgt daraus unmittelbar Satz 2.14. Denn ist f − a Y = 0
für alle a ∈ A und alle A –antisymmetrischen Teilmengen Y ⊂ X, dann gilt das insbesondere
für das “magische” Y aus Satz 2.16 und dann ist d(f, A ) = 0 – was gerade die Dichtheit liefert.
Jetzt aber an die Arbeit . . .
Beweis: Wir halten f ∈ C(X) fest und definieren die Familie
F := {F ⊂ X : dF (f, A ) = d (f, A )} .
Sei nun C ⊂ F eine Kette in F , d.h., eine Teilfamilie, die durch Inklusion total geordnet wird:
Für jedes solche C setzen wir
und zeigen, daß
C, C ′ ∈ C =⇒ C ⊂ C ′
FC :=
C∈C
C ⊂ X
oder C ′ ⊂ C.
∅ = FC ∈ F . (2.8)
Da nämlich für vorgegebenes a ∈ A und jedes C ∈ C ⊂ F die Menge
{x ∈ C : |f(x) − a(x)| ≥ d (f, A )}
1. als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge kompakt ist,
2. nichtleer ist, ja sogar C enthält: C ∈ F bedeutet, daß
ist auch
f − a C ≥ inf
g∈A f − g C = dC (f, A ) = d (f, A )
{x ∈ FC : |f(x) − a(x)| ≥ d (f, A )} =
C∈C
{x ∈ C : |f(x) − a(x)| ≥ d (f, A )} (2.9)
nichtleer und kompakt; nun ist ja a in (2.9) beliebig, wir können also dasjenige 26 a wählen, so
daß d(f, A ) = f − a und für dieses a ist dann
d (f, A ) = max |f(x) − a(x)| ≥ max |f(x) − a(x)| ≥ d (f, A ) ,
x∈X x∈FC
26 Hier verwenden wir, daß A abgeschlossen ist, ansonsten müsste man halt mit Folgen und ε argumentieren.