Approximationstheorie

22 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN
2.3 Der Satz von Bishop
So, einen haben wir noch, es gibt nämlich noch eine Verallgemeinerung des Satzes von Stone
bzw. Stone–Weierstraß, die von Bishop 23 [9] stammt und die sich ebenfalls mit Funktionenalgebren
und deren Subalgebren beschäftigt. Dazu brauchen wir noch ein klein wenig Terminologie.
Definition 2.13 Sei X ein kompakter Hausdorff–Raum und A ⊂ C(X) eine Subalgebra mit 24
1 ∈ A .
1. Eine Menge Y ⊂ X heißt A –antisymmetrisch, wenn jede Funktion f ∈ A mit 25 f|Y ⊆
R auf Y konstant ist.
2. Für Y ⊂ X definieren wir die (Halb–)Norm
und den Abstand zu A bezüglich Y als
fY := f|Y = sup |f(y)| , f ∈ C(X),
y∈Y
dY (f, A ) = inf
a∈A f − a Y
= inf
a∈A sup |f(y)| , f ∈ C(X).
Satz 2.14 (Bishop–Stone–Weierstraß)
Sei A eine abgeschlossene Unteralgebra von C(X) und 1 ∈ A . Wenn für f ∈ C(X) und
jede A –antisymmetrische Teilmenge Y von X ein a ∈ A existiert, so daß f|Y = a|Y , dann ist
A = C(X).
Bevor wir uns an den (kurzen und eleganten) Beweis machen, der von Ransford [62] stammt,
schauen wir uns erst einmal an, warum das eine Verallgemeinerung von Satz 2.7 ist. Ist nämlich
A punktetrennend, dann gibt es für je zwei Punkte x, x ′ ∈ X immer mindestens eine Funktion
a ∈ A , so daß a(x) = a(x ′ ); also kann es keine aus mehr als zwei Punkten bestehende Teilmenge
von X geben, auf denen alle Funktionen aus A konstant sind. Da aber auf einpunktigen
Mengen alle Funktionen trivialerweise konstant sind, haben wir sofort das folgende Resultat.
Lemma 2.15 Ist A eine punktetrennende Algebra, dann ist sind die A –antisymmetrischen
Teilmengen von X genau von der Form {x}, x ∈ X.
Und da mit A auch A erst recht punktetrennend ist, liefern Lemma 2.15 und Ersetzen
von A durch A in Satz 2.14 auf ziemlich unmittelbare Art und Weise Satz 2.7. Aber es wird
noch besser! Anstatt den Satz von Bishop direkt zu beweisen, zeigen wir sogar ein noch etwas
allgemeineres Resultat, das auf Machado [50] zurückgeht.
23Mehr Information als “E. Bishop” habe ich hier leider nicht.
24Im Englischen wird diese Eigenschaft als unital bezeichnet, den deutschen Terminus Technicus konnte ich
aber bisher nicht auftreiben.
25Das heißt, diese Definition ist ursächlich für die Algebra der komplexwertigen stetigen Funktionen auf X
gedacht; beschränken wir uns auf reellwertige Funktionen, dann ist diese Bedingung halt eben redundant.
y∈Y