Approximationstheorie
Approximationstheorie
Approximationstheorie
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
22 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN<br />
2.3 Der Satz von Bishop<br />
So, einen haben wir noch, es gibt nämlich noch eine Verallgemeinerung des Satzes von Stone<br />
bzw. Stone–Weierstraß, die von Bishop 23 [9] stammt und die sich ebenfalls mit Funktionenalgebren<br />
und deren Subalgebren beschäftigt. Dazu brauchen wir noch ein klein wenig Terminologie.<br />
Definition 2.13 Sei X ein kompakter Hausdorff–Raum und A ⊂ C(X) eine Subalgebra mit 24<br />
1 ∈ A .<br />
1. Eine Menge Y ⊂ X heißt A –antisymmetrisch, wenn jede Funktion f ∈ A mit 25 f|Y ⊆<br />
R auf Y konstant ist.<br />
2. Für Y ⊂ X definieren wir die (Halb–)Norm<br />
und den Abstand zu A bezüglich Y als<br />
fY := f|Y = sup |f(y)| , f ∈ C(X),<br />
y∈Y<br />
dY (f, A ) = inf<br />
a∈A f − a Y<br />
= inf<br />
a∈A sup |f(y)| , f ∈ C(X).<br />
Satz 2.14 (Bishop–Stone–Weierstraß)<br />
Sei A eine abgeschlossene Unteralgebra von C(X) und 1 ∈ A . Wenn für f ∈ C(X) und<br />
jede A –antisymmetrische Teilmenge Y von X ein a ∈ A existiert, so daß f|Y = a|Y , dann ist<br />
A = C(X).<br />
Bevor wir uns an den (kurzen und eleganten) Beweis machen, der von Ransford [62] stammt,<br />
schauen wir uns erst einmal an, warum das eine Verallgemeinerung von Satz 2.7 ist. Ist nämlich<br />
A punktetrennend, dann gibt es für je zwei Punkte x, x ′ ∈ X immer mindestens eine Funktion<br />
a ∈ A , so daß a(x) = a(x ′ ); also kann es keine aus mehr als zwei Punkten bestehende Teilmenge<br />
von X geben, auf denen alle Funktionen aus A konstant sind. Da aber auf einpunktigen<br />
Mengen alle Funktionen trivialerweise konstant sind, haben wir sofort das folgende Resultat.<br />
Lemma 2.15 Ist A eine punktetrennende Algebra, dann ist sind die A –antisymmetrischen<br />
Teilmengen von X genau von der Form {x}, x ∈ X.<br />
Und da mit A auch A erst recht punktetrennend ist, liefern Lemma 2.15 und Ersetzen<br />
von A durch A in Satz 2.14 auf ziemlich unmittelbare Art und Weise Satz 2.7. Aber es wird<br />
noch besser! Anstatt den Satz von Bishop direkt zu beweisen, zeigen wir sogar ein noch etwas<br />
allgemeineres Resultat, das auf Machado [50] zurückgeht.<br />
23Mehr Information als “E. Bishop” habe ich hier leider nicht.<br />
24Im Englischen wird diese Eigenschaft als unital bezeichnet, den deutschen Terminus Technicus konnte ich<br />
aber bisher nicht auftreiben.<br />
25Das heißt, diese Definition ist ursächlich für die Algebra der komplexwertigen stetigen Funktionen auf X<br />
gedacht; beschränken wir uns auf reellwertige Funktionen, dann ist diese Bedingung halt eben redundant.<br />
y∈Y