Approximationstheorie

2.2 Der Satz von Stone 21
und werden mit Hilfe von Lemma 2.9 und Proposition 2.12 eine Funktion a ∈ A konstruieren,
die a − f ∗ < ε erfüllt und uns damit einen Widerspruch liefert.
Zu x, x ′ ∈ X sei gx,x ′ ∈ A ⊂ C(X) eine Funktion, so daß
gx,x ′(x) = f ∗ (x) und gx,x ′(x′ ) = f ∗ (x ′ );
so eine Funktion existiert nach Lemma 2.9. Außerdem definieren wir die offenen22 Mengen
X ⊃ Ωx,x ′ :=
⊃ {x, x ′ } .
Daher ist für jedes x ∈ X
X =
x ′ ∈X
y ∈ X : gx,x ′(y) < f ∗ (y) + ε
2
Ωx,x ′ =
x ′ ∈Jx
Ωx,x ′, Jx ⊂ X, #Jx < ∞, (2.7)
wobei die Indexmenge J endlich gewählt werden kann, weil der erste Ausdruck in (2.7) eine
offene Überdeckung einer kompakten Menge ist. Damit gehören die Funktionen
gx :=
x ′ ∈Jx
jeweils zu A und hat die Eigenschaft, daß
gx,x ′, x ∈ X,
gx(y) ≤ f ∗ (y) + ε
, x, y ∈ X.
2
Und weil das mit der Kompaktheit so erfolgreich war, machen wir’s gleich nochmal: Jetzt definieren
wir
X ⊃ Ωx := y ∈ X : gx(y) > f ∗ (y) − ε
⊃ {x}
2
und erhalten, daß
X =
Ωx =
Ωx, J ⊂ X, #J < ∞,
weswegen die Funktion
die Eigenschaft
x∈X
x∈J
a :=
x∈J
gx
∈ A
f ∗ (x) − ε
2 < a(x) < f ∗ (x) + ε
, x ∈ X,
2
oder eben a − f ∗ < ε hat, im offensichtlichen Widerspruch zu (2.6).
Übung 2.4 Leiten Sie Satz 1.7 und Satz 2.2 aus Satz 2.7 ab. ♦
22 Als Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen sind diese Mengen wieder offen! Das ist übrigens die
topologische Definition der Stetigket: “Urbilder offener Mengen sind offen”.