Approximationstheorie
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20 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN<br />
Bemerkung 2.11 Mit dieser Terminologie kann man die Aussage von Satz 2.7 auch kurz und<br />
knapp als<br />
A = C(X) (2.5)<br />
formulieren.<br />
Proposition 2.12 Sei A ⊂ C(X) eine Unteralgebra von C(X) und seien f, g ∈ A . Dann gilt:<br />
1. Die Funktion |f| gehört zu A .<br />
2. Die Funktionen f ∨ g und f ∧ g, definiert durch<br />
(f ∨ g) (x) := max {f(x), g(x)} , (f ∧ g) (x) := min {f(x), g(x)} , x ∈ X,<br />
gehören ebefalls zu A .<br />
3. Für jede endliche Menge F ⊂ A gilt<br />
<br />
f ∈ A und<br />
f∈F<br />
<br />
f∈F<br />
f ∈ A .<br />
Beweis: Zum Beweis von 1. verwenden wir Satz 2.2! Und zwar sei pn ∈ Π eine Folge von<br />
Polynomen, die auf I = [−f, f ] gleichmäßig gegen die Betragsfunktion λ(x) = |x| konvergiert.<br />
Da mit f ∈ A auch<br />
ist, haben wir, daß<br />
pn(f) =<br />
n<br />
j=0<br />
pn,j f j ∈ A , pn(x) =<br />
n<br />
j=0<br />
pn,j x j ,<br />
pn(f) − |f| X ≤ pn − λ I → 0 für n → ∞,<br />
also ist |f| ∈ A . Für 2. verwenden wir Teil 1. und die Beobachtung, daß<br />
f ∨ g = 1<br />
1<br />
(f + g + |f − g|) und f ∧ g = (f + g − |f − g|) ,<br />
2 2<br />
sowie die Tatsache, daß mit A auch A eine Algebra ist. Die Aussage 3. folgt schließlich unmittelbar<br />
aus 2. <br />
Übung 2.3 Ist A ⊂ C(X) eine Algebra, dann ist auch A eine Algebra. ♦<br />
Nach den (notwendigen) Vorarbeiten jetzt aber endlich zum Beweis des Satzes von Stone–<br />
Weierstraß.<br />
Beweis von Satz 2.7: Wir nehmen an, es wäre A ⊂ C(X) eine echte Teilmenge von C(X)<br />
und damit gibt es ein ε > 0 und eine Funktion f ∗ ∈ C(X), so daß<br />
min f − f<br />
f∈A<br />
∗ > ε (2.6)