Approximationstheorie

20 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN
Bemerkung 2.11 Mit dieser Terminologie kann man die Aussage von Satz 2.7 auch kurz und
knapp als
A = C(X) (2.5)
formulieren.
Proposition 2.12 Sei A ⊂ C(X) eine Unteralgebra von C(X) und seien f, g ∈ A . Dann gilt:
1. Die Funktion |f| gehört zu A .
2. Die Funktionen f ∨ g und f ∧ g, definiert durch
(f ∨ g) (x) := max {f(x), g(x)} , (f ∧ g) (x) := min {f(x), g(x)} , x ∈ X,
gehören ebefalls zu A .
3. Für jede endliche Menge F ⊂ A gilt
f ∈ A und
f∈F
f∈F
f ∈ A .
Beweis: Zum Beweis von 1. verwenden wir Satz 2.2! Und zwar sei pn ∈ Π eine Folge von
Polynomen, die auf I = [−f, f ] gleichmäßig gegen die Betragsfunktion λ(x) = |x| konvergiert.
Da mit f ∈ A auch
ist, haben wir, daß
pn(f) =
n
j=0
pn,j f j ∈ A , pn(x) =
n
j=0
pn,j x j ,
pn(f) − |f| X ≤ pn − λ I → 0 für n → ∞,
also ist |f| ∈ A . Für 2. verwenden wir Teil 1. und die Beobachtung, daß
f ∨ g = 1
1
(f + g + |f − g|) und f ∧ g = (f + g − |f − g|) ,
2 2
sowie die Tatsache, daß mit A auch A eine Algebra ist. Die Aussage 3. folgt schließlich unmittelbar
aus 2.
Übung 2.3 Ist A ⊂ C(X) eine Algebra, dann ist auch A eine Algebra. ♦
Nach den (notwendigen) Vorarbeiten jetzt aber endlich zum Beweis des Satzes von Stone–
Weierstraß.
Beweis von Satz 2.7: Wir nehmen an, es wäre A ⊂ C(X) eine echte Teilmenge von C(X)
und damit gibt es ein ε > 0 und eine Funktion f ∗ ∈ C(X), so daß
min f − f
f∈A
∗ > ε (2.6)