Approximationstheorie

2.2 Der Satz von Stone 19
Satz 2.7 (Satz von Stone–Weierstraß) Sei X ein kompakter metrischer Raum und A ⊂ C(X)
eine Unteralgebra 20 von C(X) mit den Eigenschaften
1. A ist punktetrennend, das heißt, für alle x = x ′ ∈ X gibt es eine Funktion f ∈ A , so
daß f(x) = f(x ′ ).
2. 1 ∈ A .
Dann ist A dicht in C(X), das heißt, für alle f ∈ C(X) und alle ε > 0 gibt es ein a ∈ A so
daß f − a ∞ < ε.
Bemerkung 2.8 Die Forderung der Punktetrennung ist nicht nur hinreichend für die Dichtheit,
sondern im wesentlichen auch notwendig: Ist nämlich A nicht punktetrennend, das heißt, gibt
es zwei “magische” Punkte x, x ′ ∈ X, so daß a (x) = a (x ′ ) für alle a ∈ A , dann gilt für jede
Funktion 21 f ∈ C(X) mit f(x) = f(x ′ ) daß für jedes a ∈ A
f − a ≥ max {|f(x) − a(x)| , |f(x ′ ) − a(x ′ )|} ≥ 1
2 |f(x) − f(x′ )| > 0,
was auch für das Infimum über alle a gilt, weswegen Dichtheit unmöglich ist.
Beginnen wir mit einer einfachten Beobachtung, nämlich, daß Punktetrennung zur Interpolation
an zwei beliebigen Punkten äquivalent ist.
Lemma 2.9 Ein R–Vektorraum V ⊂ C(X) mit 1 ∈ V ist genau dann punktetrennend, wenn es
zu beliebigen Punkten x = x ′ ∈ X und y, y ′ ∈ R eine Funktion f ∈ V gibt, so daß
f(x) = y, f(x ′ ) = y ′ . (2.4)
Beweis: Daß (2.4) Punktetrennung impliziert, ist klar. Sei also nun V punktetrennend und seien
x = x ′ und y, y ′ vorgegeben. Nun wählen wir uns eine Funktion g ∈ V , so daß g(x) = g(x ′ )
und setzen
′ g − g(x) · 1
f = y
g(x ′ ) − g(x) + y g − g(x′ ) · 1
g(x) − g(x ′ )
Bevor wir uns ansehen, worin der Nutzen der Algebren besteht, erinnern wir uns kurz an den
Begriff des Abschlusses, der aus der (Funktional-) Analyis bekannt sein sollte.
Definition 2.10 Der Abschluß Y einer Menge Y ⊂ C(X) besteht aus Y und den Grenzwerten
aller Cauchyfolgen in Y bezüglich der Norm von C(X).
Y ⊂ C(X) heißt abgeschlossen, wenn Y = Y .
20 Als Unteralgebra des Vektorraums C(X) ist A damit auch automatisch ein Vektorraum über R oder C, je
nachdem, ob man reell- oder komplexwertige Funktionen betrachtet.
21 Und sowas gibt es auf jedem kompakten Hausdorff–Raum X.