Approximationstheorie

18 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN
2.2 Der Satz von Stone
Nun haben wir also zwei Sätze, nämlich Satz 1.7 und Satz 2.2, die etwas über die Dichtheit
von Polynomen in dem Banachraum der stetigen Funktionen aussagen, und die Beweise waren
zwar beide konstruktiv aber doch irgendwie ziemlich unterschiedlich. Gibt es vielleicht ein
“gemeinsames” Konzept, eine Verallgemeinerung, aus der beide Sätze folgern? Die Antwort ist
“ja”, wenn man ein bißchen mehr von der Struktur der stetigen Funktionen ausnutzt, nämlich
die unschuldige Beobachtung, daß mit f, g ∈ C(X) auch ihr Produkt f · g zu C(X) gehört, die
stetigen Funktionen also nicht nur einen Vektorraum, sondern sogar eine Algebra bilden.
Definition 2.5 1. Eine Algebra ist eine Menge, auf der Addition und Multiplikation definiert
sind, und die unter diesen Operationen abgeschlossen ist.
2. Eine Subalgebra oder Unteralgebra X ⊂ A einer Algebra A ist eine Teilmenge von A ,
die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.
3. Ein Hausdorff 18 –Raum X ist ein topologischer Raum, bei dem je zwei verschiedene
Punkte x, x ′ ∈ X durch offene Mengen getrennt werden können, das heißt, es gibt offene
Mengen U, U ′ ∈ X mit
U ∩ U ′ = ∅ und x ∈ U, x ′ ∈ U ′ .
Übung 2.1 Ist in dem kompakten metrischen Raum X = [0, 1] mit der kanonischen Metrik die
Menge 0, 1
offen, abgeschlossen oder keines von beiden? ♦
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Beispiel 2.6 Die Polynome Π bilden eine Subalgebra von C(I), denn Summe und Produkt zweier
Polynome sind wieder ein Polynom. Πn hingegen bildet genau dann eine Subalgebra, wenn
n = 0 ist – denn der Körper R ist ebenfalls eine Algebra.
Übung 2.2 Zeigen Sie:
1. Ist X ein kompakter metrischer Raum, dann ist C(X) eine Algebra.
2. Die trigonometrischen Polynome bilden eine Subalgebra von C(T).
Die Erweiterung des Satzes von Weierstraß, die Stone 19 1948 in [79] gab, hat nun folgende
Gestalt.
18 Felix Hausdorff, 1868–1942, einer der “Gründerväter” der Topologie und Mengenlehre, Erfinder der
“Hausdorff–Dimension” (keine Überraschung) und des Bergiffs “metrischer Raum”.
19 Marshall Harvey Stone, 1903–1989, befasste sich mit Spektraltheorie, gruppentheoretischen Aspekten der
Quantenmechanik und booleschen Algebren, ist aber wohl am bekanntesten durch seine Verallgemeinerung des
Approximationssatzes von Weierstraß.
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