Approximationstheorie
Approximationstheorie
Approximationstheorie
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
18 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN<br />
2.2 Der Satz von Stone<br />
Nun haben wir also zwei Sätze, nämlich Satz 1.7 und Satz 2.2, die etwas über die Dichtheit<br />
von Polynomen in dem Banachraum der stetigen Funktionen aussagen, und die Beweise waren<br />
zwar beide konstruktiv aber doch irgendwie ziemlich unterschiedlich. Gibt es vielleicht ein<br />
“gemeinsames” Konzept, eine Verallgemeinerung, aus der beide Sätze folgern? Die Antwort ist<br />
“ja”, wenn man ein bißchen mehr von der Struktur der stetigen Funktionen ausnutzt, nämlich<br />
die unschuldige Beobachtung, daß mit f, g ∈ C(X) auch ihr Produkt f · g zu C(X) gehört, die<br />
stetigen Funktionen also nicht nur einen Vektorraum, sondern sogar eine Algebra bilden.<br />
Definition 2.5 1. Eine Algebra ist eine Menge, auf der Addition und Multiplikation definiert<br />
sind, und die unter diesen Operationen abgeschlossen ist.<br />
2. Eine Subalgebra oder Unteralgebra X ⊂ A einer Algebra A ist eine Teilmenge von A ,<br />
die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.<br />
3. Ein Hausdorff 18 –Raum X ist ein topologischer Raum, bei dem je zwei verschiedene<br />
Punkte x, x ′ ∈ X durch offene Mengen getrennt werden können, das heißt, es gibt offene<br />
Mengen U, U ′ ∈ X mit<br />
U ∩ U ′ = ∅ und x ∈ U, x ′ ∈ U ′ .<br />
Übung 2.1 Ist in dem kompakten metrischen Raum X = [0, 1] mit der kanonischen Metrik die<br />
Menge 0, 1<br />
<br />
offen, abgeschlossen oder keines von beiden? ♦<br />
2<br />
Beispiel 2.6 Die Polynome Π bilden eine Subalgebra von C(I), denn Summe und Produkt zweier<br />
Polynome sind wieder ein Polynom. Πn hingegen bildet genau dann eine Subalgebra, wenn<br />
n = 0 ist – denn der Körper R ist ebenfalls eine Algebra.<br />
Übung 2.2 Zeigen Sie:<br />
1. Ist X ein kompakter metrischer Raum, dann ist C(X) eine Algebra.<br />
2. Die trigonometrischen Polynome bilden eine Subalgebra von C(T).<br />
Die Erweiterung des Satzes von Weierstraß, die Stone 19 1948 in [79] gab, hat nun folgende<br />
Gestalt.<br />
18 Felix Hausdorff, 1868–1942, einer der “Gründerväter” der Topologie und Mengenlehre, Erfinder der<br />
“Hausdorff–Dimension” (keine Überraschung) und des Bergiffs “metrischer Raum”.<br />
19 Marshall Harvey Stone, 1903–1989, befasste sich mit Spektraltheorie, gruppentheoretischen Aspekten der<br />
Quantenmechanik und booleschen Algebren, ist aber wohl am bekanntesten durch seine Verallgemeinerung des<br />
Approximationssatzes von Weierstraß.<br />
♦