Approximationstheorie

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Statt einer Leerseite . . . 0 Es ist eine große Stärkung beim Studieren, wenigstens für mich, alles, was man liest, so deutlich zu fassen, daß man eigne Anwendungen davon oder gar Zusätze dazu machen kann. Man wird am Ende dann geneigt zu glauben, man hätte alles selbst erfinden können, und so was macht Mut. So wie nichts mehr abschreckt als Gefühl von Superiorität im Buch. Georg Christoph Lichtenberg Although this may seen as a parodox, all exact science is dominated by the idea of approximation. Bertrand Russell
INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 0 1 Was ist <strong>Approximationstheorie</strong> 3 1.1 Grundsätzliche Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Ein historisches Beispiel: Summation von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Approximation von Funktionen und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Polynomapproximation – Dichtheitsaussagen 15 2.1 Der Satz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Der Satz von Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Der Satz von Bishop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Müntz–Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Approximation in linearen Räumen 36 3.1 Approximation durch lineare Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Das Kolmogoroff–Kriterium und extremale Signaturen . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Haar–Räume und Alternanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Der Remez–Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4 Mehr über Bernsteinpolynome 67 4.1 Ableitungen von Bernsteinpolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Simultanapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Shape preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.4 Der Preis: Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.5 Multivariate Bernsteinpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5 Approximationsordnung 92 5.1 Ein Satz von Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2 Trigonometrische Polynome I: Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3 Trigonometrische Polynome II: Jackson–Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.4 Trigonometrische Polynome III: Bernstein–Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.5 Trigonometrische Polynome IV: Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . 104 5.6 Trigonometrische Polynome V: Die Zygmund–Klasse . . . . . . . . . . . . . . 107 5.7 Algebraische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6 Approximation mit translationsinvarianten Räumen 114 6.1 Translationsinvariante Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.2 Ein bißchen Fourieranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.3 Polynomreproduktion und die Strang–Fix–Bedingungen . . . . . . . . . . . . 127
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Seite 21 und 22: 2.2 Der Satz von Stone 19 Satz 2.7
Seite 23 und 24: 2.2 Der Satz von Stone 21 und werde
Seite 25 und 26: 2.3 Der Satz von Bishop 23 Satz 2.1
Seite 27 und 28: 2.4 Müntz-Sätze 25 und da f −
Seite 29 und 30: 2.4 Müntz-Sätze 27 “·” das k
Seite 31 und 32: 2.4 Müntz-Sätze 29 Übung 2.7 Zei
Seite 33 und 34: 2.4 Müntz-Sätze 31 schreiben kön
Seite 35 und 36: 2.4 Müntz-Sätze 33 und somit cn c
Seite 37 und 38: 2.4 Müntz-Sätze 35 2. limj→∞
Seite 39 und 40: 3.1 Approximation durch lineare Rä
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3.3 Haar-Räume und Alternanten 51
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3.4 Der Remez-Algorithmus 59 φ ∗
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3.4 Der Remez-Algorithmus 61 Dieses
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3.4 Der Remez-Algorithmus 63 Was al
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3.4 Der Remez-Algorithmus 65 muß y
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Bisweilen erweist sich das wahre Wi
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4.2 Simultanapproximation 69 was pe
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4.2 Simultanapproximation 71 also i
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4.3 Shape preservation 73 Satz 4.8
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4.4 Der Preis: Saturation 75 Übung
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4.4 Der Preis: Saturation 77 Satz 2
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4.4 Der Preis: Saturation 79 Lemma
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4.4 Der Preis: Saturation 81 zur Ko
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4.5 Multivariate Bernsteinpolynome
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5.1 Ein Satz von Bernstein 93 Bemer
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5.1 Ein Satz von Bernstein 95 Bewei
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5.3 Trigonometrische Polynome II: J
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5.3 Trigonometrische Polynome II: J
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5.4 Trigonometrische Polynome III:
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5.4 Trigonometrische Polynome III:
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5.5 Trigonometrische Polynome IV: D
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5.6 Trigonometrische Polynome V: Di
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5.7 Algebraische Polynome 109 1. Is
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5.7 Algebraische Polynome 111 Um nu
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5.7 Algebraische Polynome 113 Also
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6.1 Translationsinvariante Räume 1
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6.1 Translationsinvariante Räume 1
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6.2 Ein bißchen Fourieranalysis 11
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6.3 Polynomreproduktion und die Str
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6.4 Approximationsordnung 133 6.4 A
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6.4 Approximationsordnung 135 worau
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6.4 Approximationsordnung 137 Bemer
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7.1 Multiresolution Analysis 139 2.
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7.1 Multiresolution Analysis 141 Pr
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7.2 Orthogonale Skalierungsfunktion
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7.2 Orthogonale Skalierungsfunktion
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7.3 Wavelets für orthonormale Skal
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7.3 Wavelets für orthonormale Skal
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7.4 Approximation mit Wavelets 151
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8.1 Nomographie, Hilberts 13. Probl
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8.1 Nomographie, Hilberts 13. Probl
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8.2 Von Würfeln und Intervallen 16
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8.2 Von Würfeln und Intervallen 16
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8.3 Der Beweis 167 ist. Der Grund h
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8.3 Der Beweis 169 4. Die Intervall
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8.3 Der Beweis 171 ε > 0, so daß
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8.3 Der Beweis 173 zusammen, die du
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8.3 Der Beweis 175 Bemerkung 8.12 D
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8.4 Neuronale Netze 177 w = (w0, .
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8.4 Neuronale Netze 179 1 2 3 . . .
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LITERATUR 181 Uns ist in alten mær
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LITERATUR 183 [29] H. Heuser. Lehrb
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LITERATUR 185 [62] T. J. Ransford.
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Abschluß, 19 Abstand, 37 Algebra,
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INDEX 189 Identität approximative,
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INDEX 191 Stammfunktion, 155 Standa
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